Chủ đề này có 8 trả lời

[Baoriven]

Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix}x_1=2016 \\ x_{n+1}=\sqrt{3}+\frac{x_n}{\sqrt{x^2_n-1}},\forall n\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$

Tìm $lim(x_n)$ khi $n$ tiến đến vô cùng.

[An Infinitesimal]

Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix}x_1=2016 \\ x_{n+1}=\sqrt{3}+\frac{x_n}{\sqrt{x^2_n-1}},\forall n\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim x_n$.

Dãy $\{x_n\}$ có các đặc tính sau:

(i) $x_n\ge \sqrt{3} \forall n\in \mathbb{N}.$

(ii) $f(x)= \sqrt{3}+\frac{x_n}{\sqrt{x^2-1}}$ thỏa$ |f'(x)| =\frac{1}{(\sqrt{x^2-1)^3}}\le \frac{1}{2\sqrt{2}}<1\, \forall x\ge \sqrt{3}.$

Do đó dãy hội tụ. Giới hạn $x$ của dãy là nghiệm dương của phương trình 

$$ x=\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}.$$

Do đó $\lim x_n= \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}.$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 29-03-2017 - 07:19

[An Infinitesimal]

Thêm lời giải ở https://diendantoanh...ìm-giới-hạn-đó/

[Drago]

Dãy $\{x_n\}$ có các đặc tính sau:

(i) $x_n\ge \sqrt{3} \forall n\in \mathbb{N}.$

(ii) $f(x)= \sqrt{3}+\frac{x_n}{\sqrt{x^2-1}}$ thỏa$ |f'(x)| =\frac{1}{(\sqrt{x^2-1)^3}}\le \frac{1}{2\sqrt{2}}<1\, \forall x\ge \sqrt{3}.$

Do đó dãy hội tụ. Giới hạn $x$ của dãy là nghiệm dương của phương trình 

$$ x=\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}.$$

Do đó $\lim x_n= \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}.$ 

Mình chưa hiểu về ý (ii), phiền bạn An infitesimal giải thích giúp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 26-04-2017 - 21:29

[An Infinitesimal]

Dãy $\{x_n\}$ có các đặc tính sau:

(i) $x_n\ge \sqrt{3} \forall n\in \mathbb{N}.$

(ii) $f(x)= \sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ thỏa$ |f'(x)| =\frac{1}{(\sqrt{x^2-1)^3}}\le \frac{1}{2\sqrt{2}}<1\, \forall x\ge \sqrt{3}.$

 

Đã viết lại (ii) cho đúng (phiên bản cũ dư một ký tự "n").

 

 

Mình chưa hiểu về ý (ii), phiền bạn An infitesimal giải thích giúp.

 

Bạn nói rõ hơn về điều mà bạn thấy lời giải chưa rõ ràng.

[Drago]

Đã viết lại (ii) cho đúng (phiên bản cũ dư một ký tự "n").

 

 

 

Bạn nói rõ hơn về điều mà bạn thấy lời giải chưa rõ ràng.

về phần xét đạo hàm suy ra dãy hội tụ mình chưa hiểu, ý mình là bạn dùng tính chất hay định lý gì.

p/s: mình kém phần này

[An Infinitesimal]

về phần xét đạo hàm suy ra dãy hội tụ mình chưa hiểu, ý mình là bạn dùng tính chất hay định lý gì.

p/s: mình kém phần này

 

Bạn xem cách 2 ở link (lời đáp cho vấn đề của bạn) https://diendantoanh...ìm-giới-hạn-đó/

[Ruka]

Dãy $\{x_n\}$ có các đặc tính sau:

(i) $x_n\ge \sqrt{3} \forall n\in \mathbb{N}.$

(ii) $f(x)= \sqrt{3}+\frac{x_n}{\sqrt{x^2-1}}$ thỏa$ |f'(x)| =\frac{1}{(\sqrt{x^2-1)^3}}\le \frac{1}{2\sqrt{2}}<1\, \forall x\ge \sqrt{3}.$

Do đó dãy hội tụ. Giới hạn $x$ của dãy là nghiệm dương của phương trình 

$$ x=\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}.$$

Do đó $\lim x_n= \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}.$ 

Từ việc tìm ra được đạo hàm thì làm sao mà ta lại suy ra được dãy hội tụ vậy ạ?

[chuyenndu]

với a thỏa mãn a=f(a) thì tồn tại $y_n$ sao cho $|x_{n+1}-a|=|f(x_n)-f(a)|=|f'(y_n)||x_n-a|<\frac{1}{2\sqrt{2}}|x_n-a|$