Chủ đề này có 7 trả lời

[Coppy dera]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c\geq9$

Tìm Min

 

$P=\frac{1}{6\sqrt{ab}+8\sqrt{ca}+7c}+2\sqrt{a+b+c}$

[Duy Thai2002]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$

=> P= $\frac{1}{6\sqrt{ab}+8\sqrt{ca}+7c}+2\sqrt{a+b+c}\geq \frac{1}{3a+3b+4a+4c+7c}+2\sqrt{a+b+c}\geq \frac{1}{7a+7b+7c}+2\sqrt{a+b+c}=\frac{1}{7(a+b+c)}+2\sqrt{a+b+c}$ (AM-GM)

Đặt $\sqrt{a+b+c}=t (t\geq 3)$, ta được:

P=$\frac{1}{7t^{2}}+2t=\frac{1}{7t^{2}}+\frac{2}{378}t+\frac{2}{378}t+\frac{376}{189}t\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{7t^{2}}.\frac{2}{378}t.\frac{2}{378}t}+\frac{376}{189}t (AM-GM)= \frac{1}{21}+\frac{376}{189}t\geq \frac{1}{21}+\frac{376}{189}.3=\frac{379}{63}$

=> $P\geq \frac{379}{63}$. ĐTXR <=> a=b=c=3

Vậy Min P=$\frac{379}{63}$ <=> a=b=c=3

[Sketchpad3356]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$

=> $P= \frac{1}{6\sqrt{ab}+8\sqrt{ca}+7c}+2\sqrt{a+b+c}\geq \frac{1}{3a+3b+4a+4c+7c}+2\sqrt{a+b+c}$$\geq \frac{1}{7a+7b+7c}+2\sqrt{a+b+c}=\frac{1}{7(a+b+c)}+2\sqrt{a+b+c}$ (AM-GM)

 

Biến đổi ntn ra thê này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sketchpad3356: 21-06-2017 - 10:33

[tuaneee111]

Biến đổi ntn ra thê này

thì AM-GM thôi $ \displaystyle 6\sqrt{{ab}}\le 3a+3b$..............

[Duy Thai2002]

Biến đổi ntn ra thê này

AM-GM đó bạn tại mình làm tắt

[nguyenduyxta2000]

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
$P=\frac{1}{2\sqrt{a.9b}+4\sqrt{4a.c}+7c}+2\sqrt{a+b+c}$
$\geqslant \frac{1}{a+9b+2(4a+c)+7c}+2\sqrt{a+b+c}$
$=\frac{1}{9(a+b+c)}+2\sqrt{a+b+c}$
Đặt $t=\sqrt{a+b+c}$, $t\geqslant3$
Khi đó $P\geqslant \frac{1}{9t^2}+2t=f(t)$
Dễ chứng minh $f(t)$ đồng biến trên $(3;+\infty)$
Vậy $P\geqslant f(3) = \frac{487}{81}$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=\frac{81}{46}, b=\frac{9}{46}, c=\frac{162}{23}$

[nguyenduyxta2000]

Bài này không đối xứng nên không giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ được nhá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenduyxta2000: 21-06-2017 - 10:53

[Hoang Dinh Nhat]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$

=> P= $\frac{1}{6\sqrt{ab}+8\sqrt{ca}+7c}+2\sqrt{a+b+c}\geq \frac{1}{3a+3b+4a+4c+7c}+2\sqrt{a+b+c}\geq \frac{1}{7a+7b+7c}+2\sqrt{a+b+c}=\frac{1}{7(a+b+c)}+2\sqrt{a+b+c}$ (AM-GM)

Đặt $\sqrt{a+b+c}=t (t\geq 3)$, ta được:

P=$\frac{1}{7t^{2}}+2t=\frac{1}{7t^{2}}+\frac{2}{378}t+\frac{2}{378}t+\frac{376}{189}t\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{7t^{2}}.\frac{2}{378}t.\frac{2}{378}t}+\frac{376}{189}t (AM-GM)= \frac{1}{21}+\frac{376}{189}t\geq \frac{1}{21}+\frac{376}{189}.3=\frac{379}{63}$

=> $P\geq \frac{379}{63}$. ĐTXR <=> a=b=c=3

Vậy Min P=$\frac{379}{63}$ <=> a=b=c=3

Biểu thức không đối xứng