$\sum a(b^2+c^2-a^2)<=3abc$
a(b^2+c^2-a^2)<=3abc
#1
Đã gửi 13-03-2017 - 21:23
- Kagome yêu thích
Chính trị chỉ cho hiện tại, nhưng phương trình là mãi mãi.
Politics is for the present, but an equation is for eternity.
#2
Đã gửi 13-03-2017 - 22:05
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b) \leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$
$\Leftrightarrow a(a-c)(a-b)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \geq 0$. $(1)$
Không mất tính TQ ta giả sử $a=min\left \{ a;b;c \right \}$ khi đó $a(a-c)(a-b)\geq 0$
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh : $b(b-c)(b-a)+(c-a)c(c-b) \geq 0$
$\Leftrightarrow (b-c)^{2}(b+c-a)\geq 0$ (điều này luôn đúng do $a=min\left \{ a;b;c \right \}$).
DBXR khi $a=b=c$ hoặc $a=b$ và $c=0$.
- Kagome yêu thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#3
Đã gửi 13-03-2017 - 22:23
schur
-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----
#4
Đã gửi 13-03-2017 - 22:27
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b) \leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$
$\Leftrightarrow a(a-c)(a-b)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \geq 0$. $(1)$
Không mất tính TQ ta giả sử $a=min\left \{ a;b;c \right \}$ khi đó $a(a-c)(a-b)\geq 0$
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh : $b(b-c)(b-a)+(c-a)c(c-b) \geq 0$
$\Leftrightarrow (b-c)^{2}(b+c-a)\geq 0$ (điều này luôn đúng do $a=min\left \{ a;b;c \right \}$).
DBXR khi $a=b=c$ hoặc $a=b$ và $c=0$.
BĐT làm gì tương đương với cái đó
Chính trị chỉ cho hiện tại, nhưng phương trình là mãi mãi.
Politics is for the present, but an equation is for eternity.
#5
Đã gửi 13-03-2017 - 22:35
BĐT làm gì tương đương với cái đó
Nhân khai triển và nhóm lại ta có bất đẳng thức tương đương: $a(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b(a^{2}+c^{2}-b^{2})+c(a^{2}+b^{2}-c^{2})=(a^{2}b+a^{2}c)+)b^{2}c+b^{2}a)+(c^{2}a+c^{2}b)-(b^{3}+c^{3}+a^{3})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 13-03-2017 - 22:36
- Tuan Duong yêu thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#6
Đã gửi 13-03-2017 - 22:42
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b) \leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$
$\Leftrightarrow a(a-c)(a-b)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \geq 0$. $(1)$
Không mất tính TQ ta giả sử $a=min\left \{ a;b;c \right \}$ khi đó $a(a-c)(a-b)\geq 0$
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh : $b(b-c)(b-a)+(c-a)c(c-b) \geq 0$
$\Leftrightarrow (b-c)^{2}(b+c-a)\geq 0$ (điều này luôn đúng do $a=min\left \{ a;b;c \right \}$).
DBXR khi $a=b=c$ hoặc $a=b$ và $c=0$.
ở chỗ $b(b-c)(b-a)+(c-a)c(c-b) \geq 0$
$\Leftrightarrow (b-c)^{2}(b+c-a)\geq 0$ làm ntn vậy
Chính trị chỉ cho hiện tại, nhưng phương trình là mãi mãi.
Politics is for the present, but an equation is for eternity.
#7
Đã gửi 14-03-2017 - 13:01
ở chỗ $b(b-c)(b-a)+(c-a)c(c-b) \geq 0$
$\Leftrightarrow (b-c)^{2}(b+c-a)\geq 0$ làm ntn vậy
$b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)= (b-c)(b^{2}-ab-c^{2}+ac)=(b-c)[(b-c)(b+c)-a(b-c)]=(b-c)^{2}(b+c-a)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 14-03-2017 - 13:01
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh