Chủ đề này có 6 trả lời

[Tuan Duong]

$\sum a(b^2+c^2-a^2)<=3abc$

[NHoang1608]

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

 $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b) \leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

 $\Leftrightarrow a(a-c)(a-b)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \geq 0$. $(1)$

Không mất tính TQ ta giả sử $a=min\left \{ a;b;c \right \}$ khi đó $a(a-c)(a-b)\geq 0$

Vì vậy ta chỉ cần chứng minh : $b(b-c)(b-a)+(c-a)c(c-b) \geq 0$

                                                     $\Leftrightarrow (b-c)^{2}(b+c-a)\geq 0$ (điều này luôn đúng do $a=min\left \{ a;b;c \right \}$).

DBXR khi $a=b=c$ hoặc $a=b$ và $c=0$. 

[victoranh]

schur

[Tuan Duong]

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

 $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b) \leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

 $\Leftrightarrow a(a-c)(a-b)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \geq 0$. $(1)$

Không mất tính TQ ta giả sử $a=min\left \{ a;b;c \right \}$ khi đó $a(a-c)(a-b)\geq 0$

Vì vậy ta chỉ cần chứng minh : $b(b-c)(b-a)+(c-a)c(c-b) \geq 0$

                                                     $\Leftrightarrow (b-c)^{2}(b+c-a)\geq 0$ (điều này luôn đúng do $a=min\left \{ a;b;c \right \}$).

DBXR khi $a=b=c$ hoặc $a=b$ và $c=0$. 

BĐT làm gì tương đương với cái đó

[NHoang1608]

BĐT làm gì tương đương với cái đó

Nhân khai triển và nhóm lại ta có bất đẳng thức tương đương: $a(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b(a^{2}+c^{2}-b^{2})+c(a^{2}+b^{2}-c^{2})=(a^{2}b+a^{2}c)+)b^{2}c+b^{2}a)+(c^{2}a+c^{2}b)-(b^{3}+c^{3}+a^{3})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 13-03-2017 - 22:36

[Tuan Duong]

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

 $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b) \leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

 $\Leftrightarrow a(a-c)(a-b)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \geq 0$. $(1)$

Không mất tính TQ ta giả sử $a=min\left \{ a;b;c \right \}$ khi đó $a(a-c)(a-b)\geq 0$

Vì vậy ta chỉ cần chứng minh : $b(b-c)(b-a)+(c-a)c(c-b) \geq 0$

                                                     $\Leftrightarrow (b-c)^{2}(b+c-a)\geq 0$ (điều này luôn đúng do $a=min\left \{ a;b;c \right \}$).

DBXR khi $a=b=c$ hoặc $a=b$ và $c=0$. 

ở chỗ  $b(b-c)(b-a)+(c-a)c(c-b) \geq 0$

                                                     $\Leftrightarrow (b-c)^{2}(b+c-a)\geq 0$ làm ntn vậy

[NHoang1608]

ở chỗ  $b(b-c)(b-a)+(c-a)c(c-b) \geq 0$

                                                     $\Leftrightarrow (b-c)^{2}(b+c-a)\geq 0$ làm ntn vậy

$b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)= (b-c)(b^{2}-ab-c^{2}+ac)=(b-c)[(b-c)(b+c)-a(b-c)]=(b-c)^{2}(b+c-a)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 14-03-2017 - 13:01