Cho tam giác$ ABC$. Trên cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt lấy các điểm $A', B', C'$. Gọi $S_a, S_b, S_c, S$ lần lượt là diện tích tương ứng các tam giác $AB'C', BC'A', CA'B', ABC$. Chứng minh $\sqrt{S_a}+\sqrt{S_b}+\sqrt{S_c} \leq \frac{3}{2}\sqrt{S}$
$\sqrt{S_a}+\sqrt{S_b}+\sqrt{S_c} \leq \frac{3}{2}\sqrt{S}$
Bắt đầu bởi traitimcamk7a, 14-03-2017 - 06:48
#2
Đã gửi 14-03-2017 - 19:22
tritanngo99
-
- Điều hành viên THPT
-
- 1647 Bài viết
Đại úy
Cho tam giác$ ABC$. Trên cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt lấy các điểm $A', B', C'$. Gọi $S_a, S_b, S_c, S$ lần lượt là diện tích tương ứng các tam giác $AB'C', BC'A', CA'B', ABC$. Chứng minh $\sqrt{S_a}+\sqrt{S_b}+\sqrt{S_c} \leq \frac{3}{2}\sqrt{S}$
Ta có: $\sum \sqrt{S_a}\le \frac{3}{2}\sqrt{S}\iff \sum \sqrt{\frac{S_a}{S}}\le \frac{3}{2}$.
$\iff \sum \sqrt{\frac{AC'.AB'}{AB.AC}}\le \frac{3}{2}$.
Thật vậy: Ta có: $\sum \sqrt{\frac{AB'.AC'}{AB.AC}}\le \frac{1}{2}\sum (\frac{AB'}{AC}+\frac{AC'}{AB})=\frac{3}{2}\implies Q.E.D$.
Dấu $=$ xảy ra khi $B'C'//BC,C'A'//AC$
- traitimcamk7a yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
