Chủ đề này có 4 trả lời

[tienduc]

Cho $abc+bcd+cda+dab=a+b+c+d+ \sqrt{2012}$. Chứng minh

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1) \geq 2012$

[cyndaquil]

Sử dụng liên tiếp đẳng thức $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$

Ta có $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)$

$=\left[(1-ab)^2+(a+b)^2\right](c^2+1)(d^2+1)$

$=\left[(a+b+c-abc)^2+(ab+bc+ca-1)^2\right](d^2+1)$

$=(abc+bcd+cda+dab-a-b-c-d)^2+(abcd-ab-bc-ca-da-db-dc+1)^2$

$=2012+(abcd-ab-bc-ca-da-db-dc+1)^2 \ge 2012$

[kienvuhoang]

Bài này giống bài 3a vòng 1 quận cầu giấy 16-17

Trình bày luôn:

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=((ab-1)^2+(a+b)^2)((c+d)^2+(cd-1^2))$

                                                 $\geq ((ab-1)(c+d)+(a+b)(cd-1))^2$

                                                  $=(abc+bcd+cda+dab-a-b-c-d)^2$

                                                    =2012

[diemdaotran]

2012=$(abc+bcd+cda+dab-a-b-c-d)^2\Leftrightarrow 2012=\left [ (bc-1)(a+d)+(c+b)(da-1) \right ]^2\leq \left [ (a+d)^2+(da-1)^2 \right ]\left [ (bc-1)^2+(c+b)^2 \right ]$(bđt bunhiacôpxki)

$\Leftrightarrow 2012\leq (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1\Rightarrow )$đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi diemdaotran: 14-04-2017 - 22:19

[Minhnksc]

bài này thi hsg tỉnh Vĩnh Phúc năm 2012-2013 thì phải