Cho tam giác ABC, kẻ đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O). Kẻ AD vuông góc với BC. AD cắt MN tại E. Chứng minh E là trực tâm tam giác ABC
Chứng minh E là trực tâm tam giác ABC
Bắt đầu bởi Haton Val, 31-03-2017 - 15:51
#2
Đã gửi 31-03-2017 - 17:34
Minhnksc
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 302 Bài viết
Sĩ quan
Gọi E' là trực tâm tam giác ABC, AD, CG là đường cao của tam giác
Ta có $AE'.AD=AG.AB$ (do tứ giác DE'GB nội tiếp) và $AG.AB=AM ^2$
suy ra $AE'.AD=AM^2$ và suy ra $\Delta AE'M\sim\Delta AMD\Rightarrow \angle{AE'M}=\angle{AMD}$
tương tự $\angle{AE'N}=\angle{AND}$
do đó $\angle{AE'N}+\angle{AE'M}=\angle{AMD}+\angle{AND}$(1)
mà AM và AN là tiếp tuyến của$(O)$ và AD là đường cao nên $\angle{ONA}=\angle{OMA}=\angle{ODA}(=90^0)$
do đó $DNAM$ là tứ giác nội tiếp nên $\angle{AMD}+\angle{AND}=180^0$
kết hợp với (1) suy ra N, E', M thẳng hàng và suy ra E' là giao điểm của MN và AD$\Rightarrow E \equiv E'$
$\Rightarrow E$ là trực tâm của $\Delta ABC$
- NHoang1608 và Haton Val thích
Sống khỏe và sống tốt 
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
