6 replies to this topic

[Haton Val]

Cho a,b,c dương .CMR $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}} \geq 1$

[NHoang1608]

Cho a,b,c dương .CMR $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}} \geq 1$

Áp dụng bđt $Cauchy-Schwarz$ thì ta có $(a\sqrt{a^{2}+8bc}+b\sqrt{b^{2}+8ca}+c\sqrt{c^{2}+8ab})(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}) \geq (a+b+c)^{2}$.  $(1)$

Mặt khác ta có $(a\sqrt{a^{2}+8bc}+b\sqrt{b^{2}+8ca}+c\sqrt{c^{2}+8ab})^{2}=(\sqrt{a}\sqrt{a^{3}+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^{3}+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^{3}+8abc})^{2}$

 

Áp dụng  bđt $Cauchy-Schwarz$ tiếp ta có $(\sqrt{a}\sqrt{a^{3}+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^{3}+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^{3}+8abc})^{2}\leq (a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc)$

 

Mà $a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc \leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a) =(a+b+c)^{3}$

 

$\Rightarrow (\sqrt{a}\sqrt{a^{3}+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^{3}+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^{3}+8abc})^{2}\leq (a+b+c)^{4}$

 

$\Rightarrow \sqrt{a}\sqrt{a^{3}+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^{3}+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^{3}+8abc} \leq (a+b+c)^{2}$  

 

$\Rightarrow a\sqrt{a^{2}+8bc}+b\sqrt{b^{2}+8ca}+c\sqrt{c^{2}+8ab} \leq (a+b+c)^{2}$   $(2)$

 

Kết hợp $(1)$ và $(2)$ thì ta có $(a+b+c)^{2}(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}) \geq (a+b+c)^{2}$

Hay $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}} \geq 1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

 

P/s: Phải cách dòng ra chứ không nhìn thấy được j.

Edited by NHoang1608, 03-04-2017 - 17:06.

[viet9a14124869]

Áp dụng bđt $Cauchy-Schwarz$ thì ta có $(a\sqrt{a^{2}+8bc}+b\sqrt{b^{2}+8ca}+c\sqrt{c^{2}+8ab})(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}) \geq (a+b+c)^{2}$.  $(1)$

Mặt khác ta có $(a\sqrt{a^{2}+8bc}+b\sqrt{b^{2}+8ca}+c\sqrt{c^{2}+8ab})^{2}=(\sqrt{a}\sqrt{a^{3}+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^{3}+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^{3}+8abc})^{2}$

Áp dụng  bđt $Cauchy-Schwarz$ tiếp ta có $(\sqrt{a}\sqrt{a^{3}+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^{3}+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^{3}+8abc})^{2}\leq (a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc)$

Mà $a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc \leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a) =(a+b+c)^{3}$

 

$\Rightarrow (\sqrt{a}\sqrt{a^{3}+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^{3}+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^{3}+8abc})^{2}\leq (a+b+c)^{4}$

 

$\Rightarrow \sqrt{a}\sqrt{a^{3}+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^{3}+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^{3}+8abc} \leq (a+b+c)^{2}$  

 

$\Rightarrow a\sqrt{a^{2}+8bc}+b\sqrt{b^{2}+8ca}+c\sqrt{c^{2}+8ab} \leq (a+b+c)^{2}$   $(2)$

 

Kết hợp $(1)$ và $(2)$ thì ta có $(a+b+c)^{2}(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}) \geq (a+b+c)^{2}$

Hay $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}} \geq 1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

Mình thì nghĩ bài này giống một bài trong cuốn Sáng Tạo Bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng

Nguyên văn bài đó như vầy . Cho a,b,c là các số thực dương ,,,chứng minh $\sum \sqrt{a^2+8bc}\leq 3(a+b+c)$  

[tuaneee111]

Đặt VT=P . Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có: \[{P^2}.\left( {\sum\limits_{cyc} {a\left( {{a^2} + 8bc} \right)} } \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^3}\]

Vậy cần chứng minh:  \[\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{{\sum\limits_{cyc} {a\left( {{a^2} + 8bc} \right)} }} \ge 1 \Leftrightarrow ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) \ge 6abc\]

Bất đẳng thức cuối đúng theo AM-GM nên có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi  \[a = b = c\]

Edited by tuaneee111, 03-04-2017 - 18:23.

[sharker]

Nhớ ko nhầm đây là bài IMO năm nào ấy 

$\sum {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + 8bc} }} = \sum {\frac{{{a^2}}}{{\sqrt a \sqrt {{a^3} + 8abc} }} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{\sqrt {(a + b + c)({a^3} + {b^3} + {c^3} + 24abc)} }}} } $

 $\ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{\sqrt {(a + b + c)({a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(b + c)(a + c))} }} = \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{{(a + b + c)}^2}}} =1$

Edited by sharker, 03-04-2017 - 19:21.

[diemdaotran]

bài này giả sử a$\geq$b$\geq$c rồi ap dụng trê-bư-sép cũng ra, bạn thử làm xem

Edited by diemdaotran, 15-04-2017 - 20:22.

[Minhnksc]

 

Nhớ ko nhầm đây là bài IMO năm nào ấy 

$\sum {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + 8bc} }} = \sum {\frac{{{a^2}}}{{\sqrt a \sqrt {{a^3} + 8abc} }} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{\sqrt {(a + b + c)({a^3} + {b^3} + {c^3} + 24abc)} }}} } $

 $\ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{\sqrt {(a + b + c)({a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(b + c)(a + c))} }} = \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{{(a + b + c)}^2}}} =1$

 

bài này IMO năm 1983 thì phải