Chủ đề này có 3 trả lời

[manh nguyen truc]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$

Chứng minh:

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq 1$

 

[Nghiapnh1002]

$\begin{pmatrix} & a & \\ & b & \\ & c & \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} & \frac{yz}{x^2} & \\ & \frac{zx}{y^2} & \\ & \frac{xy}{z^2} & \end{pmatrix}$

Ta có: 

$\sum \frac{x^4}{(x^2+yz)^2}+\frac{2x^2y^2z^2}{(x^2+yz)(y^2+zx)(z^2+xy)} \geq 1$

Mặc khác: 

$\sum \frac{x^4}{(x^2+yz)^2}\geq \sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}=1-\frac{2x^2y^2z^2}{(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)}$

Dó đó ta chỉ cần chứng minh:

$\prod (x^2+y^2) \geq \prod (x^2+yz) $(Đúng theo Cauchy - Schwartz)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nghiapnh1002: 05-04-2017 - 13:18

[tuaneee111]

Sử dụng giả thiết \[xyz = 1\]

Ta biến đổi bất đẳng thức thành:

\[\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}  + \frac{2}{{\prod\limits_{cyc} {\left( {x + 1} \right)} }} = {\left( {\frac{{\sum\limits_{cyc} {xy}  + 2\sum\limits_{cyc} x  + xyz + 3}}{{\prod\limits_{cyc} {\left( {x + 1} \right)} }}} \right)^2} - \frac{{2\left( {x + y + z + 2} \right)}}{{\prod\limits_{cyc} {\left( {x + 1} \right)} }} = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - 3}}{{{{\left( {\prod\limits_{cyc} {\left( {x + 1} \right)} } \right)}^2}}}\]

Bất đẳng thức cuối đúng theo AM-GM nên có đpcm

[KietLW9]

Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$ thì $r=1$ và $(a+1)(b+1)(c+1)=p+q+2$

Do đó $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geqslant 1\Leftrightarrow (\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})^2-2[\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+1)(a+1)}]+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geqslant 1\Leftrightarrow (\frac{q+2p+3}{q+p+2})^2-\frac{2(p+3)}{p+q+2}+\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow (1+\frac{p+1}{q+p+2})^2-\frac{2(p+3)}{p+q+2}+\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow 1+(\frac{p+1}{p+q+2})^2-\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow (p+1)^2\geqslant 2(p+q+2)\Leftrightarrow p^2\geqslant 2q+3(true)$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$