Jump to content

Photo

$\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 1$


  • Please log in to reply
3 replies to this topic

#1
Haton Val

Haton Val

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 posts

Cho a, b, c dương thỏa a+b+c=3. CMR : $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 1$


Edited by Haton Val, 05-04-2017 - 16:10.

$\sum_{x=7}^{18}x^{2}=2018$


#2
iloveyouproht

iloveyouproht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 posts

Cho a, b, c dương thỏa a+b+c=3. CMR : $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 1$

Ta có : P=$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+bc+c^{2}}=\sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$

Đặt : $\left ( \frac{b}{a};\frac{c}{b} ;\frac{a}{c}\right )->\left ( x;y;z \right )$

=>xyz=1

P=$\frac{1}{x^{2}+x+1}$

Tiếp tục đặt : $\left ( x;y;z \right )->\left ( \frac{np}{m^{2}};\frac{nm}{p^{2}};\frac{pm}{n^{2}} \right )$

Ta đưa bđt về cần cm : $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}$

Mà : $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}\geq \frac{(\sum m^{2})^{2}}{\sum m^{4}+\sum m^{2}np+\sum n^{2}p^{2}}$

BĐT sẽ được CM nếu chỉ ra : $(\sum m^{2})^{2}\geq \sum m^{4}+\sum m^{2}np+\sum n^{2}p^{2}$

Hay : $\sum m^{2}n^{2}\geq mnp(\sum m)$(bất đẳng thức này đúng theo cauchy)


Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…

________________________________________________

 

Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...

Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...  ~O)

-----------------------

My facebookhttps://www.facebook...100021740291096


#3
sharker

sharker

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 posts

Ta có : P=$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+bc+c^{2}}=\sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$

Đặt : $\left ( \frac{b}{a};\frac{c}{b} ;\frac{a}{c}\right )->\left ( x;y;z \right )$

=>xyz=1

P=$\frac{1}{x^{2}+x+1}$

Tiếp tục đặt : $\left ( x;y;z \right )->\left ( \frac{np}{m^{2}};\frac{nm}{p^{2}};\frac{pm}{n^{2}} \right )$

Ta đưa bđt về cần cm : $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}$

Mà : $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}\geq \frac{(\sum m^{2})^{2}}{\sum m^{4}+\sum m^{2}np+\sum n^{2}p^{2}}$

BĐT sẽ được CM nếu chỉ ra : $(\sum m^{2})^{2}\geq \sum m^{4}+\sum m^{2}np+\sum n^{2}p^{2}$

Hay : $\sum m^{2}n^{2}\geq mnp(\sum m)$(bất đẳng thức này đúng theo cauchy)

e nghĩ ko dc đặt ntn.Điều kiện bài toán sẽ bị thay đổi,


Edited by sharker, 05-04-2017 - 20:17.

Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu

Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió

Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc

Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào

Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây

Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??

will you wait for me forever


#4
iloveyouproht

iloveyouproht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 posts

e nghĩ ko dc đặt ntn.Điều kiện bài toán sẽ bị thay đổi,

đặt được bình thường b à :) Vì khi mình đặt thì chỉ ở lần 2 mới liên quan đến diều kiện bài toán b ạ :)


Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…

________________________________________________

 

Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...

Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...  ~O)

-----------------------

My facebookhttps://www.facebook...100021740291096





1 user(s) are reading this topic

0 members, 1 guests, 0 anonymous users