Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=2a$. Biết $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^o$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là $\frac{2a}{3}$. Tính diện tích $S$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$

[chanhquocnghiem]

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=2a$. Biết $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^o$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là $\frac{2a}{3}$. Tính diện tích $S$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$

$\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^o\Rightarrow$ hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ chính là đỉnh $D$ của hình chữ nhật $ABDC$

Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật $ABDC\Rightarrow OA^2=OB^2=OC^2=OD^2=\frac{5a^2}{4}$

Qua $A$, kẻ đường thẳng $t//BC$.Kẻ $SH\perp t\ (H\in t)\Rightarrow DH\perp t$

Gọi $K=DH\cap BC$.Kẻ $KJ\perp SH\ (J\in SH)$

Ta có $d(SA,BC)=d(BC,(S,t))=d(K,(S,t))=KJ\Rightarrow KJ=\frac{2a}{3}$

Dễ tính được $HK=d(t,BC)=\frac{2a}{\sqrt{5}}$ ; $DH=2\ HK=\frac{4a}{\sqrt{5}}$

Đặt $\alpha =\widehat{KHJ}=\widehat{DHS}\Rightarrow \sin\alpha =\frac{KJ}{HK}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ ; $\tan\alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow SD=DH\tan\alpha =2a$

Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.Vì $OA=OB=OC\Rightarrow I$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại $(O)$

Lập hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho mặt phẳng $Oxy$ trùng với $(ABDC)$ ; tia $Oz$ song song và cùng chiều với $\overrightarrow{DS}\Rightarrow z_S=2a$.Đặt $z_I=m$

$IA^2=IB^2=IC^2=OA^2+m^2=\frac{5a^2}{4}+m^2$

$IS^2=OD^2+(z_S-z_I)^2=\frac{5a^2}{4}+(2a-m)^2$

Vì $IS=IA=IB=IC\Rightarrow (2a-m)^2=m^2\Rightarrow m=a$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R=\sqrt{OA^2+m^2}=\frac{3a}{2}$

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp là $4\pi R^2=9\pi a^2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 07-04-2017 - 18:58