Chủ đề này có 2 trả lời

[tienduc]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh

$ \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2}$

[tuaneee111]

Ta có:

\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{b}}  - \sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}  = \sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {\frac{{a + c + \sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{a + b + c + \sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}} \right)}  \ge 0\]

Vậy bất đẳng thức được chứng minh thành công.

[Baoriven]

Sử dụng $Holder$, ta có:

$(\sum\frac{a^2}{b})^2(\sum a^2b^2)\ge(\sum a^2)^3$

Mặt khác, ta lại có:

$(\sum a^2)^2\ge 3\sum a^2b^2$

Từ đó có đpcm.