Chủ đề này có 3 trả lời

[thinhtrantoan]

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

 

[huykinhcan99]

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

 

Không giảm tổng quát, ta có quyền giả sử $a\geqslant b\geqslant c$. Khi đó, viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng

\begin{align*} & \hphantom{\iff} \left( \dfrac{a^2}{b^2+c^2}-\dfrac{a}{b+c} \right) + \left( \dfrac{b^2}{c^2+a^2}-\dfrac{b}{c+a} \right) + \left( \dfrac{c^2}{a^2+b^2}-\dfrac{c}{a+b} \right) \geqslant 0 \\ &\iff \dfrac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^2+c^2)(b+c)} +\dfrac{bc(b-c)+ba(b-a)}{(c^2+a^2)(c+a)}+\dfrac{ca(c-a)+cb(c-b)}{(a^2+b^2)(a+b)}  \geqslant 0\\ &\iff \dfrac{ab(a-b)\left[(c^2+a^2)(c+a)- (b^2+c^2)(b+c)\right]}{(b^2+c^2)(b+c)(c^2+a^2)(c+a)}+ \\ & \hspace{3cm} + \dfrac{ac(a-c)\left[(a^2+b^2)(a+b)- (b^2+c^2)(b+c)\right]}{(b^2+c^2)(b+c)(a^2+b^2)(a+b)}+ \\ &\hspace{4.5cm} + \dfrac{bc(b-c)\left[(a^2+b^2)(a+b)- (c^2+a^2)(c+a)\right]}{(c^2+a^2)(c+a)(a^2+b^2)(a+b)}  \geqslant 0 \end{align*}

 

Do điều kiện giả sử ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 30-04-2017 - 10:32

[AnhTran2911]

Bài này của cụ Vasile quá quen rồi

[KietLW9]

Đây là bài toán tổng quát: Cho $a,b,c>0$ và $r,s$ là các số thực dương sao cho $r\geqslant s$. Chứng minh: $\frac{a^r}{b^r+c^r}+\frac{b^r}{c^r+a^r}+\frac{c^r}{a^r+b^r}\geqslant \frac{a^s}{b^s+c^s}+\frac{b^s}{c^s+a^s}+\frac{c^s}{a^s+b^s}$