Chủ đề này có 2 trả lời

[Drago]

Cho a,b,c là những số thực không âm. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\leq \frac{3\sum a^{2}}{\sum a}$

[tuaneee111]

Ta có: $\[\frac{{3\sum\limits_{cyc} {{a^2}} }}{{\sum\limits_{cyc} a }} - \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}}}  = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {a + b - c} \right)}}{{2\left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right)}}} \]$

Không mất tính tổng quát ta giả sử: $\[a \ge b \ge c \Rightarrow \frac{{a + b - c}}{{2\left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right)}},\frac{{a + c - b}}{{2\left( {a + c} \right)\left( {a + b + c} \right)}} > 0\]$

Mặt khác:$\[\frac{{{a^2}\left( {a + c - b} \right)}}{{2\left( {a + c} \right)\left( {a + b + c} \right)}} + \frac{{{b^2}\left( {b + c - a} \right)}}{{2\left( {b + c} \right)\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{{ab{{\left( {a - b} \right)}^2} + {c^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + c\left( {{a^3} + {b^3}} \right)}}{{2\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + b + c} \right)}} > 0\]$

Vậy bđt đc chứng minh thành công!

 

[KietLW9]

Cho a,b,c là những số thực không âm. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\leq \frac{3\sum a^{2}}{\sum a}$

$VT-VP=\sum_{cyc}\frac{-bc(b-c)^2}{(a+b)(a+c)}\leqslant 0$