2 replies to this topic

[tuyet tran]

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{nx^{n}}{(n+1)2^{n}}$

[An Infinitesimal]

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{nx^{n}}{(n+1)2^{n}}$

 

Chuỗi hội tụ trên $[-2,2).$

 

\[\frac{nx^{n}}{(n+1)2^{n}}=\frac{x^{n}}{2^{n}}-\frac{x^{n}}{(n+1)2^{n}}= \left(\frac{x}{2}\right)^n-\frac{ \left(\frac{x}{2}\right)^n}{n+1}.\]

Tổng chuỗi có thể tính thông qua nhận xét thô: $\sum_{n=0}^{\infty} t^n =\frac{1}{1-t}$. Cần lập luận thêm để có

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n+1}=\frac{1}{t} \int_0^t \frac{1}{1-s}ds,\].

trong đó $t\neq 0.$

 

Bạn tiếp tục phát triển dựa vào ý trên nhen!

[tuyet tran]

Chuỗi hội tụ trên $[-2,2).$

 

\[\frac{nx^{n}}{(n+1)2^{n}}=\frac{x^{n}}{2^{n}}-\frac{x^{n}}{(n+1)2^{n}}= \left(\frac{x}{2}\right)^n-\frac{ \left(\frac{x}{2}\right)^n}{n+1}.\]

Tổng chuỗi có thể tính thông qua nhận xét thô: $\sum_{n=0}^{\infty} t^n =\frac{1}{1-t}$. Cần lập luận thêm để có

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n+1}=\frac{1}{t} \int_0^t \frac{1}{1-s}ds,\].

trong đó $t\neq 0.$

 

Bạn tiếp tục phát triển dựa vào ý trên nhen!

ok ! cám ơn bạn nhiều nhé