Chủ đề này có 5 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu $(S)$ đi qua điểm $A(2;-2;5)$ và tiếp xúc với các mặt phẳng $(\alpha):x=1; (\beta):y=-1; (\gamma):z=1.$ Bán kính của mặt cầu (S) là ?

[tritanngo99]

Bài toán : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu $(S)$ đi qua điểm $A(2;-2;5)$ và tiếp xúc với các mặt phẳng $(\alpha):x=1; (\beta):y=-1; (\gamma):z=1.$ Bán kính của mặt cầu (S) là ?

Lời giải: Giả sử mặt cầu $(S)$ có tâm $I(a;b;c)$.

Theo đề: $(S)$ tiếp xúc với ba mặt phẳng $(\alpha),(\beta),(\gamma)\implies |a-1|=|b+1|=|c-1|$,

Và do $(S)$ đi qua $A(2;-2;5)$ nên ta có: $(a-2)^2+(b+2)^2+(c-5)^2=(a-1)^2(*)$.

Giải hệ ta chỉ được $1$ nghiệm duy nhất là: $a=c=4;b=-4\implies R_{(S)}=3$.

Ps: Ta cần chú ý: Từ $(*)\implies (a-1)^2>(a-2)^2\iff a>\frac{3}{2}>1$.

Do đó ta chỉ cần xét hai trường hợp: $a-1=b+1=c-1$ hoặc $a-1=b+1=1-c$

[vkhoa]

Bài toán : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu $(S)$ đi qua điểm $A(2;-2;5)$ và tiếp xúc với các mặt phẳng $(\alpha):x=1; (\beta):y=-1; (\gamma):z=1.$ Bán kính của mặt cầu (S) là ?

$(\alpha), (\beta), (\gamma)$ giao nhau tại I(1, -1, 1), đôi một vuông góc nhau và chia không gian làm 8 phần

nếu J là tâm mặt cầu tiếp xúc 3 mặt phẳng trên thì $\overrightarrow{IJ}$ có dạng (a, b, c) với a, b, c bằng $\pm t$ với t>0

ta có $x_A>1, y_A <-1, z_A >1$ và tâm mặt cầu cần tìm nằm trong phần không gian chứa A nên $\overrightarrow{IJ} =(t, -t, t)$

chọn điểm K tương ứng với J khi t =1,$\overrightarrow{IK} =(1, -1, 1)$ 

$\Rightarrow K(2, -2, 2)$

pt mặt cầu tâm K tiếp xúc 3 mp là

$(x -2)^2 +(y +2)^2 +(z -2)^2 =1$

pt tham số của IA là

$\left\{\begin{matrix}x =1 +t\\y =-1 -t\\z =1 +4t\end{matrix}\right.$

gọi M là giao của IA với mặt cầu (K), thế x, y, z theo t vào pt mặt cầu (K)

$(t -1)^2 +(1 -t)^2 +(4t -1)^2 =1$

$\Leftrightarrow 18t^2 -12t +2 =0$

$\Rightarrow t =\frac13$

$\Rightarrow M(\frac43, -\frac43, \frac73)$

mặt cầu (J) cần tìm là ảnh của mặt cầu (K) qua phép vị tự tâm I tỉ lệ $\frac{IA}{IM} =3$

$\Rightarrow\overrightarrow{IJ} =3\overrightarrow{IK} =(3, -3, 3)$

$\Rightarrow J(4, -4, 4)$

và bán kính mc (J) =3 . bán kính mc (K) =3

[chanhquocnghiem]

Bài toán : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu $(S)$ đi qua điểm $A(2;-2;5)$ và tiếp xúc với các mặt phẳng $(\alpha):x=1; (\beta):y=-1; (\gamma):z=1.$ Bán kính của mặt cầu (S) là ?

Gọi tâm mặt cầu $(S)$ là $I$, bán kính của nó là $r$.Dễ thấy $x_I> 1$ ; $y_I< -1$ ; $z_I> 1$ nên suy ra tọa độ của $I$ là :

$I(1+r;-1-r;1+r)$

$IA=r\Leftrightarrow (x_I-x_A)^2+(y_I-y_A)^2+(z_I-z_A)^2=r^2$

$\Leftrightarrow (r-1)^2+(1-r)^2+(r-4)^2=r^2\Leftrightarrow r=3$.

[caybutbixanh]

Gọi tâm mặt cầu $(S)$ là $I$, bán kính của nó là $r$.Dễ thấy $x_I> 1$ ; $y_I< -1$ ; $z_I> 1$ nên suy ra tọa độ của $I$ là :

$I(1+r;-1-r;1+r)$

$IA=r\Leftrightarrow (x_I-x_A)^2+(y_I-y_A)^2+(z_I-z_A)^2=r^2$

$\Leftrightarrow (r-1)^2+(1-r)^2+(r-4)^2=r^2\Leftrightarrow r=3$.

Chú có thể nói kĩ hơn chỗ " dễ thấy $x_I >1 ;y_I<-1;z_1>1$.." được không ạ ? Cháu thấy khá khó hiểu....

[chanhquocnghiem]

Chú có thể nói kĩ hơn chỗ " dễ thấy $x_I >1 ;y_I<-1;z_1>1$.." được không ạ ? Cháu thấy khá khó hiểu....

Ba mặt phẳng $\alpha ,\beta ,\gamma$ chia không gian thành $8$ phần.Mặt cầu $(S)$ đi qua $A$ và tiếp xúc với $3$ mặt phẳng đó cho nên mặt cầu $(S)$ (và tâm $I$ của nó) cùng điểm $A$ phải cùng nằm trong $1$ phần không gian (trong $8$ phần nói trên)

Do $x_A> 1$, $y_A< -1$, $z_A> 1$ suy ra $x_I> 1$, $y_I< -1$, $z_I> 1$ (vì điểm $I$ cùng nằm chung trong 1 phần không gian với điểm $A$)