Chủ đề này có 1 trả lời

[NTMFlashNo1]

Số $N$ có dạng $p^{x}q^{y}r{z}$ với $p,q,r$ nguyên tố ;$x,y,z$ nguyên dương và:

$pq-r=3$

$pr-q=9$

Biết $\frac{N}{q},\frac{N}{p},\frac{N}{r}$ có số ước ít hơn số ước của $N$ là $20,12,15$

Tìm $N?$

[NHoang1608]

Số $N$ có dạng $p^{x}q^{y}r{z}$ với $p,q,r$ nguyên tố ;$x,y,z$ nguyên dương và:

$pq-r=3$

$pr-q=9$

Biết $\frac{N}{q},\frac{N}{p},\frac{N}{r}$ có số ước ít hơn số ước của $N$ là $20,12,15$

Tìm $N?$

Ta có $\frac{N}{q}=p^{x}q^{y-1}r^{z}$

         $\frac{N}{p}=p^{x-1}q^{y}r^{z}$

         $\frac{N}{r}=p^{x}q^{y}r^{z-1}$

Theo công thức tính số ước thì số ước của $\frac{N}{q},\frac{N}{p},\frac{N}{r},N$ lần lượt là:

 $(x+1)y(z+1),x(y+1)(z+1),z(x+1)(y+1),(x+1)(y+1)(z+1)$

Từ giả thiết ta có:

$(x+1)y(z+1)+20=(x+1)(y+1)(z+1)$

$x(y+1)(z+1)+12=(x+1)(y+1)(z+1)$

$(x+1)(y+1)z+15=(x+1)(y+1)(z+1)$

$\Rightarrow (x+1)(y+1)=15,(y+1)(z+1)=12,(x+1)(z+1)=20$

Từ đây dễ dàng suy ra được $x=4,y=2,z=3$

$\Rightarrow N=p^{4}q^{2}r^{3}$

Từ giả thiết suy ra $pr-q-pq+r=6$

                              $(p+1)(r-q)=6$  $(1)$

Chú ý $p,q,r$ nguyên tố thì từ $(1)$ suy ra

   $\begin{bmatrix} p+1=3,r-q=2 \\ p+1=6,r-q=1 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} p=2,r-q=2\\ p=5,r-q=1 \end{bmatrix}$

Xét TH $p=5,r-q=1$

Dễ thấy $q=2$ vì nếu $q\not{=}2$ thì $2\mid r-q$, mâu thuẫn.

Suy ra $p=5,q=2,r=3$, thử lại thì không thấy thỏa mãn.

Xét TH $p=2,r-q=2$

Thay $p=2,r=q+2$ vào $pr-q=9$ thì $q=5$ suy ra $r=7$

Như vậy $p=2,q=5,r=7$

Suy ra $N=2^{4}5^{2}7^{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 07-05-2017 - 08:10