Chủ đề này có 3 trả lời

[LinhToan]

cho a,b,c>0 khác nhau đôi một.

CMR: $\frac{a^{2}}{(b-c)^{2}} +\frac{b^{2}}{(c-a)^{2}}+\frac{c^{2}}{(a-b)^{2}}$ $\geq 2$

[TrBaoChis]

Source : Gabi Cuc 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrBaoChis: 07-05-2017 - 17:10

[HoangKhanh2002]

Cho a,b,c>0 khác nhau đôi một.

CMR: $\frac{a^{2}}{(b-c)^{2}} +\frac{b^{2}}{(c-a)^{2}}+\frac{c^{2}}{(a-b)^{2}}$ $\geq 2$

Ta có: $\sum \frac{a^2}{(b-c)^2}=\left ( \sum \frac{a}{b-c} \right )^2-2\sum \frac{ab}{(a-b)(c-a)}=\left ( \sum \frac{a}{b-c} \right )^2-2.\frac{\sum ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Ta lại có đẳng thức quen thuộc: $\sum ab(a-b)=ab(a-b)+b^2c-bc^2+c^2a-ca^2=ab(a-b)-(ca^2-b^2c)+(c^2a-bc^2)=ab(a-b)-c(a-b)(a+b)+c^2(a-b)=(a-b)(c^2-ca-cb+ba)=(a-b)(c-a)(c-b)$

Do đó: $\sum \frac{a^2}{(b-c)^2}=\left ( \sum \frac{a}{b-c} \right )^2-2.\frac{\sum ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\left ( \sum \frac{a}{b-c} \right )^2+2 \geqslant 2$ $\Rightarrow \boxed{Q.E.D}$

[Hoang Dinh Nhat]

cho a,b,c>0 khác nhau đôi một.

CMR: $\frac{a^{2}}{(b-c)^{2}} +\frac{b^{2}}{(c-a)^{2}}+\frac{c^{2}}{(a-b)^{2}}$ $\geq 2$

 

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \frac{(a^3-a^2b-a^2c-ab^2+3abc-ac^2+b^3-b^2c-bc^2+c^3)^2}{(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2}\geq 0$

BĐT cuối luôn đúng nên BĐT được chứng minh