Cho $A=2+2\sqrt{12n^{2}+1}$; $n\in N$. Chứng minh nếu $A\in N$ thì $A$ là số chính phương.
Chứng minh A là số chính phương
#1
Posted 09-05-2017 - 16:39
#2
Posted 09-05-2017 - 17:45
Để $A$ là số tự nhiên thì $12n^2+1$ là số chính phương
Đặt $12n^2+1=a^2$$\left ( a\epsilon \mathbb{N}^{*} \right )$
Giải phương trình nghiệm nguyên này ra được nghiệm: $a=7$;$n=2$ hoặc $a=7;n=-2$ hoặc $a=1;n=0$
Thay $n=2$ vào A, ta có: $A=16=4^2$ nên A là số chính phương
Tương tự các TH khác
Edited by Hoang Dinh Nhat, 09-05-2017 - 18:55.
- hathanh123 likes this
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
#3
Posted 09-05-2017 - 17:52
Do A nguyên <=>$\sqrt{12n^2+1}=k(k\epsilon \mathbb{N})<=>12n^2=k^2+1<=>k\equiv 1(mod2)=>k=2p+1(p\epsilon \mathbb{N})=>12n^2=4p^2+4p<=>3n^2=p^2+p$
Mà (p;p+1)=1 =>p=3q hoặc p=3q-1
xét p=3q=>$=>n^2=(3q+1)q=>2+2\sqrt{12n^2+1}=4+12q$ mà (3q+1;q)=1=>3q+1 =a$=>A=4a^2$=>dpcm
Ta cũng xét tương tự với p=3q-1
P/s: Một bài toán cũng tương tự :$2+2\sqrt{28n^2+1}$
Edited by ddang00, 09-05-2017 - 18:25.
- hathanh123, Tea Coffee and Minhnksc like this
I Love $\sqrt{MF}$
#4
Posted 09-05-2017 - 17:54
Để $A$ là số tự nhiên thì $12n^2+1$ là số chính phương
Đặt $12n^2+1=a^2$$\left ( a\epsilon \mathbb{N}^{*} \right )$
Giải phương trình nghiệm nguyên này ra được một nghiệm: $a=7$;$n=2$
Thay $n=2$ vào A, ta có: $A=16=4^2$ nên A là số chính phương
Không được đâu bạn ạ vì $12n^2+1=a^2$, đây là pt Pell nên sẽ có vô số nghiệm, mình thử giải theo cách này nhưng không được!
Edited by ddang00, 09-05-2017 - 18:08.
- hathanh123 and bigway1906 like this
I Love $\sqrt{MF}$
#5
Posted 23-05-2017 - 17:06
Do A nguyên <=>$\sqrt{12n^2+1}=k(k\epsilon \mathbb{N})<=>12n^2=k^2+1<=>k\equiv 1(mod2)=>k=2p+1(p\epsilon \mathbb{N})=>12n^2=4p^2+4p<=>3n^2=p^2+p$
Mà (p;p+1)=1 =>p=3q hoặc p=3q-1
xét p=3q=>$=>n^2=(3q+1)q=>2+2\sqrt{12n^2+1}=4+12q$ mà (3q+1;q)=1=>3q+1 =a$=>A=4a^2$=>dpcm
Ta cũng xét tương tự với p=3q-1
P/s: Một bài toán cũng tương tự :$2+2\sqrt{28n^2+1}$
phải là $12n^2 = k^2- 1$ chứ bạn? với mình k hiểu lắm, 3q+1 = a thì A = 4a chứ nhỉ?
#6
Posted 23-05-2017 - 17:21
phải là $12n^2 = k^2- 1$ chứ bạn? với mình k hiểu lắm, 3q+1 = a thì A = 4a chứ nhỉ?
Xin lỗi,mình đánh nhầm!
Còn $3q+1=a^2$ do ta có tính chất:Tích của 2 số nguyên tố cùng nhau là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương.
Edited by ddang00, 23-05-2017 - 17:23.
I Love $\sqrt{MF}$
#7
Posted 23-05-2017 - 17:34
Xin lỗi,mình đánh nhầm!
Còn $3q+1=a^2$ do ta có tính chất:Tích của 2 số nguyên tố cùng nhau là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương.
mình hiểu r, cảm ơn bạn nha
#8
Posted 23-05-2017 - 22:22
Bài thi chuyên ams năm ngoái
#9
Posted 24-05-2017 - 15:10
Do A nguyên <=>$\sqrt{12n^2+1}=k(k\epsilon \mathbb{N})<=>12n^2=k^2+1<=>k\equiv 1(mod2)=>k=2p+1(p\epsilon \mathbb{N})=>12n^2=4p^2+4p<=>3n^2=p^2+p$
Mà (p;p+1)=1 =>p=3q hoặc p=3q-1
xét p=3q=>$=>n^2=(3q+1)q=>2+2\sqrt{12n^2+1}=4+12q$ mà (3q+1;q)=1=>3q+1 =a$=>A=4a^2$=>dpcm
Ta cũng xét tương tự với p=3q-1
P/s: Một bài toán cũng tương tự :$2+2\sqrt{28n^2+1}$
E thấy trường hợp $p=3q-1$ không ổn lắm vì làm theo trường hợp trên thì $2+2\sqrt{12n^{2}+1} = 4.3q$. Mà $n^{2}=q(3q-1) có (q;3q-1)=1$ nên q là số chính phương => 3q không là số chính phương trừ khi q=0
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#10
Posted 24-05-2017 - 16:56
E thấy trường hợp $p=3q-1$ không ổn lắm vì làm theo trường hợp trên thì $2+2\sqrt{12n^{2}+1} = 4.3q$. Mà $n^{2}=q(3q-1) có (q;3q-1)=1$ nên q là số chính phương => 3q không là số chính phương trừ khi q=0
Ta có $3q-1$ là số chính phương nên $3q-1$ chia 3 dư 0,1.Mà $3q-1$ chia 3 dư 1 trong TH $q=1$
I Love $\sqrt{MF}$
#11
Posted 24-05-2017 - 20:00
Ta có $3q-1$ là số chính phương nên $3q-1$ chia 3 dư 0,1.Mà $3q-1$ chia 3 dư 1 trong TH $q=1$
3.1-1 là 2 chia 3 dư 2 mà. Rõ ràng cách này không đc
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#12
Posted 24-05-2017 - 20:06
3.1-1 là 2 chia 3 dư 2 mà. Rõ ràng cách này không đc
Ý mình đang nói là:3q-1 chia dư 2 với mọi q khác 0,nhưng 3q-1 là số chính phương mà trong khi đó một số chính phương khi chia 3 chỉ có thể có số dư là 0,1 mà thôi!
I Love $\sqrt{MF}$
#13
Posted 24-05-2017 - 22:16
Ý mình đang nói là:3q-1 chia dư 2 với mọi q khác 0,nhưng 3q-1 là số chính phương mà trong khi đó một số chính phương khi chia 3 chỉ có thể có số dư là 0,1 mà thôi!
Sau đó em cũng hiểu rồi anh ạ, lúc đầu em mới hiểu sai thôi. Em sinh 2k3 nhé
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#14
Posted 24-05-2017 - 23:52
Ý mình đang nói là:3q-1 chia dư 2 với mọi q khác 0,nhưng 3q-1 là số chính phương mà trong khi đó một số chính phương khi chia 3 chỉ có thể có số dư là 0,1 mà thôi!
mình vẫn chưa hiểu lắm sẽ giải tiếp trường hợp này như nào? bạn có thể nói rõ hơn đc k?
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users