Chủ đề này có 3 trả lời

[datthyqt]

Cho $a;b;c> 0$ thỏa mãn  : $(a+b)(b+c)(c+a)=1$

Tìm max của biểu thức M=ab+bc+ca

[NHoang1608]

Cho $a;b;c> 0$ thỏa mãn  : $(a+b)(b+c)(c+a)=1$

Tìm max của biểu thức M=ab+bc+ca

Áp dụng bđt $AM-GM$ thì ta có $[2(a+b+c)]^{3}\geq 27(a+b)(b+c)(c+a) =27$

                                                   $\Rightarrow a+b+c \geq \frac{3}{2}$ $(1)$

Mặt khác áp dụng bđt quen thuộc $(a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8}{9}(ab+bc+ca)(a+b+c)$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $(a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8}{9}.\frac{3}{2}(ab+bc+ca)$

                                        $\Rightarrow 1\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ca)$

                                        $\Rightarrow \frac{3}{4} \geq ab+bc+ca$

Suy ra $Max_{M} = \frac{3}{4}$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$.

[datthyqt]

Áp dụng bđt $AM-GM$ thì ta có $[2(a+b+c)]^{3}\geq 27(a+b)(b+c)(c+a) =27$

                                                   $\Rightarrow a+b+c \geq \frac{3}{2}$ $(1)$

Mặt khác áp dụng bđt quen thuộc $(a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8}{9}(ab+bc+ca)(a+b+c)$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $(a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8}{9}.\frac{3}{2}(ab+bc+ca)$

                                        $\Rightarrow 1\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ca)$

                                        $\Rightarrow \frac{3}{4} \geq ab+bc+ca$

Suy ra $Max_{M} = \frac{3}{4}$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$.

Cho mình hỏi cách chưng minh bdt phụ thư nhât ?

[NHoang1608]

Cho mình hỏi cách chưng minh bdt phụ thư nhât ?

Ta có

$9(a+b)(b+c)(c+a)= 9(ab+bc+ca)(a+b+c)-9abc$

Mà $9abc\leq (a+b+c)(ab+bc+ca)$

      $\Rightarrow -9abc \geq -(a+b+c)(ab+bc+ca)$

      $\Rightarrow 9(a+b)(b+c)(c+a)= 9(ab+bc+ca)(a+b+c)-9abc \geq  9(ab+bc+ca)(a+b+c)-(a+b+c)(ab+bc+ca)=8(ab+bc+ca)(a+b+c)$

      $\Rightarrow 9(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8(ab+bc+ca)(a+b+c)$.