5 replies to this topic

[Doflamingo]

1,Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn: 1+x+y+z=2xyz
Tìm GTNN của P= $\frac{xy}{1+x+y}+\frac{yz}{1+y+z}+\frac{zx}{1+z+x}$ 

2,cho a,b,c lần lượt là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn 2ab+3bc+4ca=5abc
Tìm GTNN của P= $\frac{7}{a+b-c}+\frac{6}{b+c-a}+\frac{5}{a+c-b}$ 

3,Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: xyz=x+y+z+2. CMR:
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leqslant \frac{3}{2}\sqrt{xyz}$ 

4,Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác .Tìm GTNN của :
P=$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}$ 

5,Cho phương trình $ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$ có nghiệm.
Tìm GTLN của biểu thức $\frac{3a+2b+4c}{4a}$

 

6,Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1.Tìm GTLN của biểu thức:

P=$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$

 

7,CMR với mọi số a,b,c dương ta có:

$\frac{4(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}+\sqrt{3}\left ( \frac{a+2b}{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}}+\frac{b+2c}{\sqrt{b^{2}+2c^{2}}}+\frac{c+2a}{\sqrt{c^{2}+2a^{2}}} \right )\geq 13$

Edited by Doflamingo, 11-05-2017 - 19:58.

[sharker]

4,Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác .Tìm GTNN của :
P=$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}$ 

Đặt $b+c-a=x$;$a+c-b=y$;$a+b-c=z$

$P=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}=\frac{2y+2z}{x}+\frac{9z+9x}{2y}+\frac{8x+8y}{z }$

$=\left ( \frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y} \right )+\left ( \frac{8y}{z}+\frac{9z}{2y} \right )+\left ( \frac{2z}{x}+\frac{8x}{z} \right )\geq 6+8+12=26$

Edited by sharker, 11-05-2017 - 14:06.

[sharker]

 

 

 

6,Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1.Tìm GTLN của biểu thức:

P=$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$

 

 

 

 

 

 

$(1 + a + b)({c^2} + a + b) \ge {(a + b + c)^2}\\$

 $\to \sum {\frac{1}{{1 + a + b}} \le \sum {\frac{{{c^2} + a + b}}{{{{(a + b + c)}^2}}}} } \\$

$GS:MAX = 1\\$

$ \to BDT \Leftrightarrow {(a + b + c)^2} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2(a + b + c)\\$

 $\Leftrightarrow ab + bc + ac \ge a + b + c\\$

$(1):{(ab + bc + ac)^2} \ge 3abc(a + b + c) = 3(a+b+c)\\$

$(2):ab + bc + ac \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} = 3\\$

$(1);(2) \to ab + bc + ac \ge a + b + c(dpcm)$

Edited by sharker, 11-05-2017 - 14:13.

[sharker]

2,cho a,b,c lần lượt là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn 2ab+3bc+4ca=5abc
Tìm GTNN của P= $\frac{7}{a+b-c}+\frac{6}{b+c-a}+\frac{5}{a+c-b}$ 

$2ab + 3bc + 4ac = 5abc\\$

 $\Leftrightarrow \frac{2}{c} + \frac{3}{a} + \frac{4}{b} = 5 $

$P = \frac{7}{{a + b - c}} + \frac{6}{{b + c - a}} + \frac{5}{{a + c - b}}\\$

$P = 2(\frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{a + c - b}}) + 3(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{a + c - b}}) + 4(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}})\\$

$P \ge 2.\frac{4}{{2c}} + 3.\frac{4}{{2a}} + 4.\frac{4}{{2b}} = \frac{4}{2}(\frac{2}{c} + \frac{3}{a} + \frac{4}{b}) = 10$

[adteams]

 

 

6,Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1.Tìm GTLN của biểu thức:

P=$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$

Bài này có cách khá đơn giản như sau: 
abc=1 Đặt (a;b;c)=(x;y;z) => x^3 y^3 z^3 =1 

P=$\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{z^3+y^3+1}+\frac{1}{x^3+z^3+1}$
A/d x^2-xy+y^2 >= xy
x^3+y^3 +1>= xy(x+y) +xyz = xy(x+y+z)
$\frac{1}{1+x^3+y^3}$<= xyz/xy(x+y+z) = z/(x+y+z) tương tự => P<= 1

[Doflamingo]

các bạn nghĩ ra cách làm mấy bài toán cực trị này nhanh thật đấy, có bí quyết gì k chỉ cho mình vs, thanks