Chủ đề này có 1 trả lời

[uchiha hitachi]

tìm GTNN của $(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$ thỏa $x^{2}+y^{2}=1$

[Cuongpa]

tìm GTNN của $(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$ thỏa $x^{2}+y^{2}=1$

Đặt  $P=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$

Ta có:

$P=2+x+y+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\geq 4+x+y+\frac{4}{x+y}$

Mặt khác: $x+y\leq \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}=\sqrt{2}$

Do đó:

$P=4+(x+y)+\frac{2}{x+y}+\frac{2}{x+y}\geq 4+3\sqrt{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$