Bài 2: Cho tam giác $ABC$ với $AB<AC$. $D$ là giao điểm của đường phân giác trong góc $BAC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $Z$ là giao điểm của trung trực $AC$ và đường phân giác ngoài góc $BAC$. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADZ$.
Bài 3: Kí hiệu $A(n)$ là số các dãy các số nguyên dương $a_1\ge a_2\ge\cdots{}\ge a_k$ với $a_1+\cdots{}+a_k = n$ và mỗi số $a_i +1$ là một lũy thừa của 2 $(i = 1,2,\cdots{},k)$. Kí hiệu $B(n)$ là dãy các số nguyên dương $b_1\ge b_2\ge \cdots{}\ge b_m$ mà $b_1+\cdots{}+b_m =n$ và $b_j\ge 2b_{j+1}$ $(j=1,2,\cdots{}, m-1)$. Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$ thì $A(n)=B(n)$.
Bài 4: Gọi một số hữu tỉ $r$ là "mạnh" nếu $r$ có thể biểu diễn được dưới dạng $\dfrac{p^k}{q}$ với các số nguyên dương $p,q$ nguyên tố cùng nhau và số nguyên dương $k>1$ nào đó. Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ dương thỏa mãn $abc=1$. Giả sử tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $a^x + b^y + c^z$ là một số nguyên. Chứng minh $a,b,c$ đều "mạnh".
Bài 5: Cho số nguyên dương $n$. Một cặp gồm các bộ $n$ số nguyên $(a_1,\cdots{}, a_n)$ và $(b_1,\cdots{}, b_n)$ được gọi là "cặp tinh tế" nếu $$|a_1b_1+\cdots{}+a_nb_n|\le 1.$$ Xác định số lớn nhất các bộ $n$ số nguyên, khác nhau mà bất kì 2 bộ nào trong chúng cũng tạo thành một "cặp tinh tế".
Nguồn: https://artofproblem...51627_2017_apmo
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hieutran2000: 16-05-2017 - 11:58