15 replies to this topic

[HoangKhanh2002]

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thoả mãn $85^x-y^4=4$

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho cả hai số $x^2+y$ và $y^2+x$ đều chia hết cho $x^2+y^2$

[NHoang1608]

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thoả mãn $85^x-y^4=4$

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho cả hai số $x^2+y$ và $y^2+x$ đều chia hết cho $x^2+y^2$

Bài 2. Hình như đề là $x^{3}+y$ chứ.

 

My solution.

 

Đầu tiên ta chứng minh $(x;y)=1$. Thật vậy

Ta có $(x^{2}+y^{2}) \mid (x^{3}+y) \Rightarrow (x^{2}+y^{2}) \mid (x^{3}+xy^{2}+y-xy^{2})$

                                                          $\Rightarrow (x^{2}+y^{2}) \mid [y(xy-1)]$

Gọi $(x;y)=d \Rightarrow x=dx_{1} , y=dy_{1}$ và $(x_{1};y_{1})=1$

Ta có $d^{2}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}) \mid y_{1}d(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$

          $\Rightarrow d(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}) \mid y_{1}(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$

          $\Rightarrow d \mid  y_{1}(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$

Mà $(d^{2}x_{1}y_{1}-1 ; d) =1$ suy ra $d\mid y_{1}$

Tương tự với giả thiết $x^{2}+y^{2} \mid (y^{3}+x)$ thì ta cũng có được $d\mid x_{1}$

Từ đó suy ra $d=1$ vì $(x_{1};y_{1})=1$ cho nên $(x;y)=1$

Suy ra $(xy;x^{2}+y^{2})=1$

Ta có:  $x^{2}+y^{2} \mid x(xy-1)$ , $x^{2}+y^{2} \mid y(xy-1)$

           $\Rightarrow (x^{2}+y^{2})^{2} \mid xy(xy-1)^{2}$

Mặt khác $(x^{2}+y^{2};xy)=1$  cho nên $(x^{2}+y^{2})^{2} \mid (xy-1)^{2}$

                $\Rightarrow x^{2}+y^{2} \mid xy-1$

i)  Xét $xy=1$ thì dễ suy ra nghiệm

ii) Xét $xy \not{=} 1$ thì $ \left | xy-1 \right |\geq \left | x^{2}+y^{2} \right |$

   $\Rightarrow \left | xy-1 \right |\geq \left | 2xy \right |$

- Xét $xy>1$ suy ra $xy-1 \geq 2xy \Rightarrow -1\geq xy$ (vô lí).

- Xét $xy< 1$ suy ra $1-xy \geq -2xy \Rightarrow 1+xy \geq 0 \Rightarrow xy\geq -1$

     $\Rightarrow xy=0$ hoặc $xy=-1$ đến đây dễ suy ra nghiệm.

 

Tóm lại bài toán có các nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(1;1) ; (-1;1) ; (1;-1) ; (0;1) ; (1;0)$ 

[ddang00]

Mình xin chém bài 2:

Do $x^2+y$ và $y^2+x$ chia hết cho $x^2+y^2=>x^2+y^2+x+y$ chia hết $x^2+y^2=>x+y$ chia hết cho $x^2+y^2$.

Đặt $x+y=k(x^2+y^2)$ ($k$ nguyên)

$=>kx^2-x-y+ky^2=0$$=>\Delta =1^2-4k(-y+ky^2)=1+4ky-4k^2y^2$

Đặt $ky=t$($t$ nguyên)$=>\Delta=1+4t-4t^2$Để phương trình có nghiệm nguyên $=>\Delta$ phải là số chính phương và $\Delta$ lớn hơn hoặc bằng $0$.

Đến đây thì dễ rồi.

Edited by ddang00, 21-05-2017 - 11:24.

[ddang00]

 

Bài 2. Hình như đề là $x^{3}+y$ chứ.

 

My solution.

 

Đầu tiên ta chứng minh $(x;y)=1$. Thật vậy

Ta có $(x^{2}+y^{2}) \mid (x^{3}+y) \Rightarrow (x^{2}+y^{2}) \mid (x^{3}+xy^{2}+y-xy^{2})$

                                                          $\Rightarrow (x^{2}+y^{2}) \mid [y(xy-1)]$

Gọi $(x;y)=d \Rightarrow x=dx_{1} , y=dy_{1}$ và $(x_{1};y_{1})=1$

Ta có $d^{2}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}) \mid y_{1}d(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$

          $\Rightarrow d(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}) \mid y_{1}(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$

          $\Rightarrow d \mid  y_{1}(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$

Mà $(d^{2}x_{1}y_{1}-1 ; d) =1$ suy ra $d\mid y_{1}$

Tương tự với giả thiết $x^{2}+y^{2} \mid (y^{3}+x)$ thì ta cũng có được $d\mid x_{1}$

Từ đó suy ra $d=1$ vì $(x_{1};y_{1})=1$ cho nên $(x;y)=1$

Suy ra $(xy;x^{2}+y^{2})=1$

Ta có:  $x^{2}+y^{2} \mid x(xy-1)$ , $x^{2}+y^{2} \mid y(xy-1)$

           $\Rightarrow (x^{2}+y^{2})^{2} \mid xy(xy-1)^{2}$

Mặt khác $(x^{2}+y^{2};xy)=1$  cho nên $(x^{2}+y^{2})^{2} \mid (xy-1)^{2}$

                $\Rightarrow x^{2}+y^{2} \mid xy-1$

i)  Xét $xy=1$ thì dễ suy ra nghiệm

ii) Xét $xy \not{=} 1$ thì $ \left | xy-1 \right |\geq \left | x^{2}+y^{2} \right |$

   $\Rightarrow \left | xy-1 \right |\geq \left | 2xy \right |$

- Xét $xy>1$ suy ra $xy-1 \geq 2xy \Rightarrow -1\geq xy$ (vô lí).

- Xét $xy< 1$ suy ra $1-xy \geq -2xy \Rightarrow 1+xy \geq 0 \Rightarrow xy\geq -1$

     $\Rightarrow xy=0$ hoặc $xy=-1$ đến đây dễ suy ra nghiệm.

 

Tóm lại bài toán có các nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(1;1) ; (-1;1) ; (1;-1) ; (0;1) ; (1;0)$ 

 

Bài này đúng là $x^2+y$ đó

Edited by ddang00, 21-05-2017 - 11:27.

[NHoang1608]

Bài này là $x^2+y$ đó

Vậy thì bài này xử lí dễ dàng.

Từ giả thiết suy ra $x^{2}+y^{2} \mid x+y$ 

Xét $x=-y$ thì suy ra nghiệm.

Xét $x \not{-y}$ suy ra $\left | x+y \right | \geq x^{2}+y^{2} \geq \frac{(x+y)^{2}}{2}$

                                    $\Rightarrow 2 \geq \left | x+y \right |$

Suy ra $(x+y) \in {1;2;-1;-1}$ thay vào thì dễ dàng có nghiệm.

Edited by NHoang1608, 21-05-2017 - 11:30.

[NHoang1608]

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thoả mãn $85^x-y^4=4$

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho cả hai số $x^2+y$ và $y^2+x$ đều chia hết cho $x^2+y^2$

q

Edited by NHoang1608, 21-05-2017 - 12:14.

[duylax2412]

Em xin làm bài 1:

Dễ thấy:$x,y>0$

Phương trình viết lại: $85^x=(y^2+2y+2)(y^2-2y+2)$

Gọi: $d=UCLN(y^2+2y+2,y^2-2y+2)$. Từ phương trình đầu cho ta y lẻ nên d cũng lẻ

Suy ra: $4y\vdots d \rightarrow y\vdots d \rightarrow 2\vdots d\rightarrow d=1$

Và: $85=17.5$ với 5;17 nguyên tố.Do đó: $y^2-2y+2=5^x$(1) và$y^2+2y+2=17^x$ (do:$y^2-2y+2 < y^2+2y+2 \forall y\in N$)

Từ hệ trên rút ẩn ta có: $4y=17^x-5^x$

Thay vào (1), ta có: $(17^x-5^x+4)^2=16(17^x-1)$(2)

Với: $x\geq 2 \rightarrow VT_{(2)}>VP_{(2)}$. Vậy: $x=1 \rightarrow y=3$

Edited by duylax2412, 21-05-2017 - 14:29.

[HoangTienDung1999]

Vậy thì bài này xử lí dễ dàng.

Từ giả thiết suy ra $x^{2}+y^{2} \mid x+y$ 

Xét $x=-y$ thì suy ra nghiệm.

Xét $x \not{-y}$ suy ra $\left | x+y \right | \geq x^{2}+y^{2} \geq \frac{(x+y)^{2}}{2}$

                                    $\Rightarrow 2 \geq \left | x+y \right |$

Suy ra $(x+y) \in {1;2;-1;-1}$ thay vào thì dễ dàng có nghiệm.

có thể giải cho tui cái TH1 được không, khó chứ không phải dễ đâu x^2-x chia hết cho 2x^2 rồi sao nữa đây

[ddang00]

có thể giải cho tui cái TH1 được không, khó chứ không phải dễ đâu x^2-x chia hết cho 2x^2 rồi sao nữa đây

$x^2-x$ chia hết cho $2x^2=>x-1$ chia hết cho $2x=>1$chia hết cho $x=>x$ là ước của 1 (do $x$ nguyên)$.Đến đây bạn xét các trường hợp là được.

[HoangTienDung1999]

$x^2-x$ chia hết cho $2x^2=>x-1$ chia hết cho $2x=>1$chia hết cho $x=>x$ là ước của 1 (do $x$ nguyên)$.Đến đây bạn xét các trường hợp là được.

SAI.

[ddang00]

SAI.

Nếu em sai,chị có thể giải thích cho em biết tại sao em lại sai được không!

Edited by ddang00, 21-05-2017 - 21:54.

[kienvuhoang]

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thoả mãn $85^x-y^4=4$

 

 Nếu x=0 suy ra loại

Nếu$x\geq 1$ ta có: $85^x=(y^2-2y+2)(y^2+2y+2)$(1)

Dễ thấy y lẻ khác 1 nên$(y^2-2y+2,y^2+2y+2)=1$

Mày^2+2y+2>y^2-2y+2>1

$\Rightarrow y^2-2y+2=5^x;y^2+2y+2=17^x$

Mà $y^2+2y+2<6(y^2-2y+2)

\Rightarrow 17^x<6.5^x\Rightarrow x=1$

$y=3$

[adteams]

$x^2-x$ chia hết cho $2x^2=>x-1$ chia hết cho $2x=>1$chia hết cho $x=>x$ là ước của 1 (do $x$ nguyên)$.Đến đây bạn xét các trường hợp là được.

Đúng r : ) 

Edited by adteams, 24-05-2017 - 23:37.

[Element hero Neos]

Mình nghĩ là chỗ đấy : )
Mình nghĩ phải là : X^2 -x = (x-1)x chia hết cho 2 
=> x^2/(x^2 -x ) => 1 chia hết cho x [...]  :v

Chỗ đó đúng mà nhỉ?

$x^2-x\vdots 2x^2\Leftrightarrow x^2-x=2kx^2\Leftrightarrow x-1=2kx\Leftrightarrow x-1\vdots x$

[ddang00]

Chỗ đó đúng mà nhỉ?

$x^2-x\vdots 2x^2\Leftrightarrow x^2-x=2kx^2\Leftrightarrow x-1=2kx\Leftrightarrow x-1\vdots x$

Edited by ddang00, 24-05-2017 - 23:45.

[adteams]

Vâng đúng mà.em không hiểu sao hai người kia bảo em sai nữa?Chỗ đó cũng dễ hiểu nữa!

Xin lỗi bạn :v Mình nhầm , mình  đọc lướt qua  :v