1.Cho các số nguyên x,y,z thỏa: $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z $ CMR: x+y+z chia hết cho 27
2.Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho $5^n +n^5$ chia hết cho 13
3.Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho $2^a+3^b$ là bình phương của một số nguyên
1.Cho các số nguyên x,y,z thỏa: $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z $ CMR: x+y+z chia hết cho 27
2.Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho $5^n +n^5$ chia hết cho 13
3.Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho $2^a+3^b$ là bình phương của một số nguyên
1.Cho các số nguyên x,y,z thỏa: $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z $ CMR: x+y+z chia hết cho 27
Giả sử cả 3 số không có 2 số bất kì nào có cùng số dư khi chia 3 => VP chia hết 3 , VT không chia hết 3 => mâu thuẫn
=> có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia 3
Giả sử chỉ có 2 số có cùng số dư khi chia 3 => VT chia hết 3 , VP không chia hết 3=> Mâu thuẫn
=> 3 số có cùng số dư khi chia 3
=> VT chia hết 27
=> Vp chia hết 27
Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.
Albert Einstein.
2.Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho $5^n +n^5$ chia hết cho 13
Bài 2 ra thế này có vẻ hơi lỏng thì phải
Nhẩm qua thì thấy $n=2$ là nghiệm nên ta chỉ cần thử $n\in \left \{ 0;1;2 \right \}$ sau đó suy ra $n=2$ là $n$ nhỏ nhất là được
Success doesn't come to you. You come to it.
bạn hơi nhầm rồi. đáp số ko phải là 2 đâu nhé.
À nhầm thật, lấy $5^2+1^5$ :/ để mình thử giải lại
Nhân tiện theo định lí $Fermat$ nhỏ thì ta có $12$ là một nghiệm, mà hình như là nhỏ nhất rồi phải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cuongpa: 23-05-2017 - 17:41
Success doesn't come to you. You come to it.
À nhầm thật, lấy $5^2+1^5$ :/ để mình thử giải lại
n bé nhất là 12.
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
À nhầm thật, lấy $5^2+1^5$ :/ để mình thử giải lại
Nhân tiện theo định lí $Fermat$ nhỏ thì ta có $12$ là một nghiệm, mà hình như là nhỏ nhất rồi phải
ukm. đúng rồi. mình đag con vuong o cau 3. bạn làm thử.
3.
Xét $a,b<2$
Xét $a,b \geq 2$
Ta có: Nếu $a$ là số lẻ thì $2^{a}+3^{b} \equiv -1 (mod 3)$
$\Rightarrow t^{2} \equiv 2 (mod 3)$ (Vô lí)
Nếu $b$ là số lẻ thì $2^{a}+3^{b} \equiv -1 (mod 4)$
$\Rightarrow t^{2} \equiv 3 (mod 4)$ (Vô lí)
Vậy $a,b$ đều chẵn. Đặt $a=2x,b=2y$ với $x,y \geq 1; x,y \in \mathbb{N*}$
Khi đó $(2^{x})^{2}+(3^{y})^{2} = t^{2}$
Nhận thấy $2^{x}$ nguyên tố cùng nhau với $t$ lẫn $3^{y}$
Suy ra $(2^{x}; 3^{y} ; t)$ là bộ ba $Phythagore$ nguyên thủy.
$\Rightarrow 2^{x} = 2mn, 3^{y}=m^{2}-n^{2}, t= m^{2}+n^{2}$ với $(m,n \in \mathbb{N} ,m>n, (m;n)=1)$
Từ $2^{x}=2mn \Rightarrow m= 2^{u}, n= 2^{v}$ $(u>v, u,v \in \mathbb{N})$
Mà $(m;n)=1$ cho nên $(2^{u};2^{v})=1$ suy ra $2^{v}=1 \Rightarrow v=0$
Từ đó mà $n=1$ suy ra $m=2^{x-1}$
$\Rightarrow 3^{y}= (2^{x-1})^{2}- 1$
$\Rightarrow 3^{y}= (2^{x-1}-1)(2^{x-1}+1)$
$\Rightarrow 2^{x-1}-1=3^{k}$ và $2^{x-1}+1 = 3^{h}$ $(h>k)$
$\Rightarrow 3^{h}-3^{k} =2$
Thấy $k>0$ thì vô lí suy ra $k=0 \Rightarrow h=1$
$\Rightarrow 2^{x-1}= 2 \Rightarrow x=2$
$\Rightarrow a=4$. Mặt khác $m=2^{x-1}= 2$, $n=1$ và $3^{y}= m^{2}-n^{2}$ cho nên $3^{y}=4-1=3$ hay $y=1$
Cho nên $b=2y=2$.
Thử lại thấy đúng.
Vậy $a=4,b=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 24-05-2017 - 17:20
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh