5 replies to this topic

[DiepDan]

Tìm nghiệm nguyên: 

1. $2^{x}+7=y^{2}$

2. $3^{x}-y^{3}=1$

3. $m^{2}+n^{2}=m+n+8$ với m,n là số tự nhiên

4. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$

5. $(x+1)^{4}-(x-1)^{4}=y^{3}$

6. $(x+y)^{5}=120+3$

 

[NHoang1608]

Tìm nghiệm nguyên: 

1. $2^{x}+7=y^{2}$

2. $3^{x}-y^{3}=1$

3. $m^{2}+n^{2}=m+n+8$ với m,n là số tự nhiên

4. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$

5. $(x+1)^{4}-(x-1)^{4}=y^{3}$

6. $(x+y)^{5}=120+3$

1. Xét $x \geq 2$.

Suy ra $2^{x} \equiv  0 (\mod{4})$

         $\Rightarrow y^{2}=2^{x}+7 \equiv 3 \mod{4}$

Mâu thuẫn vì $y^{2} \equiv 0;1 \mod{4}$

    Xét $x<0$ 

Suy ra $2^{x}+7 \not{\in} \mathbb{N}$. Mâu thuẫn

    Xét $1\leq x\geq 0$

Nếu $x=0$ thì $2^{x}+7= 8$ (vô lí).

Nếu $x=1$ thì $2^{x}+7 = 9 =3^{2}$

Vậy pt có nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(1;3)$.

2. Xét $x<0$ thì pt vô nghiệm nguyên.

    Xét $x \geq 0$.

Pt$\Leftrightarrow 3^{x}= (y+1)(y^{2}-y+1)$

   Suy ra $y+1= 3^{a}$

                                               $(a,b \in \mathbb{N}; a+b=x$)

              $y^{2}-y+1= 3^{b}$

$\Rightarrow 3^{2a}- 3(3^{a}-1)= 3^{b}$

Nếu $a=0$ thì $b=1$ suy ra $x=1,y=0$

Nếu $b=0$ thì thấy không tồn tại $a \in \mathbb{N}$

Nếu $a,b > 0$ thì $3^{2a-1}-3^{a}+1= 3^{b}$ vì $a,b> 0 $ cho nên $3^{2a-1} \equiv 3^{a} \equiv 3^{b} \equiv 0 \mod{3})$, mâu thuẫn.

Vậy $x=1,y=0$.

3,4. đã có trên topic số học THCS.

5. pt$\Leftrightarrow 8x(x^{2}+1) = y^{3}$

       $\Leftrightarrow x(x^{2}+1) = k^{3}$ 

Thấy $(x;x^{2}+1)= 1$ suy ra $x=a^{3}, x^{2}+1= b^{3}$

Từ đó ta có $a^{6}+1= b^{3}$

                  $\Rightarrow (a^{2}-b)(a^{4}+a^{2}b+b^{2})= 1$

                  $\Rightarrow a=1, b=0$

Hay $x=0$ suy ra $y=0$

Vậy $x=y=0$

6. Đánh thiếu đề. Đề nguyên bản. $(x+y)^{5}=120y+3$ (Hình như vậy ) và $x,y$ nguyên dương thì phải.

Bài này đơn giản là chặn $x$ là được.

Edited by NHoang1608, 27-05-2017 - 22:27.

[ddang00]

5. $(x+1)^{4}-(x-1)^{4}=y^{3}$

 

Khai triển ra ta được:

$(x^3+x)8=y^3$

Do $x,y$ nguyên nên $(x^3+x)$ là lập phương của 1 số nguyên mà $8=2^3=>x^3+x=t^3$($t$ nguyên)

Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được:

$(x-1)^3<x^3+x<(x+1)^3$ với mọi $x$ mà $x^3+x=t^3=>x^3+x=x^3$

$<=>x=0$.Khi đó $y=0$

Vậy $(x,y)=(0,0)$

[didifulls]

Tìm nghiệm nguyên: 

1. $2^{x}+7=y^{2}$

2. $3^{x}-y^{3}=1$

3. $m^{2}+n^{2}=m+n+8$ với m,n là số tự nhiên

4. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$

5. $(x+1)^{4}-(x-1)^{4}=y^{3}$

6. $(x+y)^{5}=120+3$

Bài 4 . Đặt ( x+y,xy)=(a,b)
Bài toán trở nên đơn giản HS lớp 7 cũng có thể lm đ.c :v

[duylax2412]

Bài 6 làm như sau:( đề của $NHoang1608$)

Do: $x,y>0$ nên $(x+y)^5=120y+3<120(x+y) \rightarrow (x+y)^4<120<4^4$

Lại có: $(x+y)^4 \geq 2^4$

Từ đây suy ra: $2 \leq x+y <4$

Đến đây thì dễ rồi!

 

[viethoang2002]

1. Xét $x \geq 2$.

Suy ra $2^{x} \equiv  0 (\mod{4})$

         $\Rightarrow y^{2}=2^{x}+7 \equiv 3 \mod{4}$

Mâu thuẫn vì $y^{2} \equiv 0;1 \mod{4}$

    Xét $x<0$ 

Suy ra $2^{x}+7 \not{\in} \mathbb{N}$. Mâu thuẫn

    Xét $1\leq x\geq 0$

Nếu $x=0$ thì $2^{x}+7= 8$ (vô lí).

Nếu $x=1$ thì $2^{x}+7 = 9 =3^{2}$

Vậy pt có nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(1;3)$.

2. Xét $x<0$ thì pt vô nghiệm nguyên.

    Xét $x \geq 0$.

Pt$\Leftrightarrow 3^{x}= (y+1)(y^{2}-y+1)$

   Suy ra $y+1= 3^{a}$

                                               $(a,b \in \mathbb{N}; a+b=x$)

              $y^{2}-y+1= 3^{b}$

$\Rightarrow 3^{2a}- 3(3^{a}-1)= 3^{b}$

Nếu $a=0$ thì $b=1$ suy ra $x=1,y=0$

Nếu $b=0$ thì thấy không tồn tại $a \in \mathbb{N}$

Nếu $a,b > 0$ thì $3^{2a-1}-3^{a}+1= 3^{b}$ vì $a,b> 0 $ cho nên $3^{2a-1} \equiv 3^{a} \equiv 3^{b} \equiv 0 \mod{3})$, mâu thuẫn.

Vậy $x=1,y=0$.

3,4. đã có trên topic số học THCS.

5. pt$\Leftrightarrow 8x(x^{2}+1) = y^{3}$

       $\Leftrightarrow x(x^{2}+1) = k^{3}$ 

Thấy $(x;x^{2}+1)= 1$ suy ra $x=a^{3}, x^{2}+1= b^{3}$

Từ đó ta có $a^{6}+1= b^{3}$

                  $\Rightarrow (a^{2}-b)(a^{4}+a^{2}b+b^{2})= 1$

                  $\Rightarrow a=1, b=0$

Hay $x=0$ suy ra $y=0$

Vậy $x=y=0$

6. Đánh thiếu đề. Đề nguyên bản. $(x+y)^{5}=120y+3$ (Hình như vậy ) và $x,y$ nguyên dương thì phải.

Bài này đơn giản là chặn $x$ là được.

bổ sung nghiệm bài 1 là y = -3 nha