Chủ đề này có 1 trả lời

[ThuThao36]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm A trên đường thẳng $d:x-2y+1=0$. Biết qua A kẻ được 2 tiếp tuyến AB, AC (với B, C là tiếp điểm) đến đường tròn $(C):(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=1$ sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất

[chanhquocnghiem]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm A trên đường thẳng $d:x-2y+1=0$. Biết qua A kẻ được 2 tiếp tuyến AB, AC (với B, C là tiếp điểm) đến đường tròn $(C):(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=1$ sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất

Tâm đường tròn $(C)$ là $I(2;-1)$ ; $d_{(I,d)}=\frac{|2-2.(-1)+1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}> 1\Rightarrow d$ và $(C)$ không giao nhau

Gọi $K$ là hình chiếu của $I$ trên $d\Rightarrow K(1;1)$

Xét điểm $A$ tùy ý trên $d$.Từ $A$ kẻ 2 tiếp tuyến $AB,AC$ đến $(C)$ ($B,C$ là tiếp điểm).Gọi $AI\cap BC=H$

$AB=AC=\sqrt{AI^2-R^2}$ ($R$ là bán kính đường tròn)

$BC=2\ BH=2\ BI\cos BAI=2\ R\cos BAI$

Nhận xét :

$AB$ và $AC$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow AI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow A\equiv K$

$BC$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow \cos BAI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow \sin BAI=\frac{R}{AI}$ lớn nhất $\Leftrightarrow A\equiv K$

Vậy $AB+AC+BC$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow A\equiv K$ ($K$ là điểm $(1;1)$ đã nói ở trên)