Chủ đề này có 3 trả lời

[anhtuan962002]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 30-05-2017 - 11:53

[didifulls]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P= $\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}$

Cauchy ngược dấu !!
Tách tử thành $a(1+b^2) - ab^2$ Chia xuống mẫu và sử dụng Cauchy bình thường !
 

[tienduc]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}$

Ta có

$\frac{a}{1+b^2}= \frac{a(1+b^2)-ab^2}{1+b^2}= a-\frac{ab^2}{2}$

CMTT $\frac{b}{1+c^2}=b-\frac{bc^2}{1+c^2};\frac{c}{1+a^2}=c-\frac{ca^2}{1+a^2}$

Cộng vế

$\rightarrow P=(a+b+c)-(\frac{ab^2}{1+b^2}+\frac{bc^2}{1+c^2}+\frac{ca^2}{1+a^2})$

Áp dụng BĐT $Cauchy$ ta có

$a^2+1\geq 2a;b^2+1\geq 2b;c^2+1\geq 2c$

$\rightarrow P\geq a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}= \frac{3}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

[cahoangkim123]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}$

Ta có

 $$\sum \frac{a}{1+b^{2}}=\sum \frac{a(1+b^{2}-ab^{2})}{1+b^{2}}=\sum a-\frac{ab^{2}}{1+b^{2}} \geq \sum a-\frac{ab^{2}}{2b}= a+b+c-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)$$

lại có 

$$3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^{2}=>ab+bc+ac\leq 3$$

mà a+b+c=3 => min P = 1,5 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1