Chủ đề này có 3 trả lời

[Drago]

Chứng minh rằng trong một tam giác, các đường thẳng kẻ từ tâm của đường tròn bàng tiếp mỗi góc, vuông góc với cạnh đối diện, đồng quy tại một điểm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 09-06-2017 - 07:49

[anhquannbk]

Chứng minh rằng trong một tam giác, các đường thẳng kẻ từ tâm của đường tròn bàng tiếp mỗi góc, vuông góc với cạnh đối diện, đồng quy tại một điểm.

Định lý Carno

[halloffame]

Viết lại cho dễ quan sát:

Bài toán. Cho tam giác $ABC,$ đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $(I_a)$ tiếp xúc $BC$ tại $D.$ Tương tự có $(I_b),E,(I_c),F.$ Chứng minh $I_aD,I_bE,I_cF$ đồng quy.

Lời giải. Gọi đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D',E',F';M,N,P$ là trung điểm $BC,CA,AB;O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Khi đó ta có kết quả quen thuộc là $D'$ đối xứng $D$ qua $M.$ Mà $ID',OM,I_aD$ cùng vuông góc với $BC$ nên ta suy ra $I_aD$ đi qua điểm $X$ đối xứng với $I$ qua $O.$

Tương tự ta suy ra $I_aD,I_bE,I_cF$ đồng quy tại $X,$ đpcm.

[NHN]

ta có $\triangle ABC$ là tam giác orthic wrt $\triangle I_aI_bI_c$ vậy $BC$ là đường đối song bổ đề cơ bản đường thẳng qua $I_a$ vuông đường đối song thì đi qua tâm ngoại tiếp của $(I_aI_bI_c)$ vậy ta có dpcm