Chủ đề này có 3 trả lời

[anhtuan962002]

Cho x,y,z dương thỏa x+y+z=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P= $\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{x+z}+\frac{z^{2}}{x+y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtuan962002: 04-06-2017 - 21:44

[khgisongsong]

$P\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}=1$

dấu =xảy ra $<=>\frac{x}{y+z}=\frac{y}{x+z}=\frac{z}{x+y}$ và $x+y+z=2<=>x=y=z=\frac{2}{3}$

[tuaneee111]

Không mất tính tổng quát ta giả sử: $\displaystyle a=\max \left\{ {a,b,c} \right\}$.

Ta có: $ \displaystyle \frac{{{{a}^{2}}}}{{b+c}}+\frac{{{{b}^{2}}}}{{a+c}}+\frac{{{{c}^{2}}}}{{a+b}}=\frac{{{{{\left( {a-b} \right)}}^{2}}\left( {a+b+c} \right)}}{{\left( {a+c} \right)\left( {b+c} \right)}}+\frac{{\left( {a+b+c} \right)\left( {a+b+2c} \right)\left( {a-c} \right)\left( {b-c} \right)}}{{2\left( {a+b} \right)\left( {b+c} \right)\left( {c+a} \right)}}+\frac{{a+b+c}}{2}\ge 1$

[huykinhcan99]

Cho x,y,z dương thỏa x+y+z=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P= $\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{x+z}+\frac{z^{2}}{x+y}$

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có

\begin{equation} \label{eq:1} \dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{x^2}{y+z}\cdot \dfrac{y+z}{4}}=x \end{equation}

 

Hoàn toàn tương tự:

\begin{align} \label{eq:2} \dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4}\geqslant y \\ \label{eq:3} \dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\geqslant z \end{align}

 

Từ \eqref{eq:1}, \eqref{eq:2}, \eqref{eq:3} ta có ngay

\[\left(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\right)+ \left(\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4}\right)+\left( \dfrac{z^2}{x+y} +\dfrac{x+y}{4}\right)\geqslant x+y+z\]

\[\iff\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant \dfrac{x+y+z}{2}\]

 

Chú ý rằng $x+y+z=2$, ta có ngay

\[\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant 1\]

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $1$, đạt được khi $x=y=z=\dfrac{2}{3}$.