Chủ đề này có 1 trả lời

[anhtuan962002]

Cho $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi là 2. Hãy so sánh $x,y,z$ với $1$ và chứng minh rằng $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz<2$

[Cuongpa]

Cho $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi là 2. Hãy so sánh $x,y,z$ với $1$ và chứng minh rằng $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz<2$

Do $x,y,z$ là độ dài $3$ cạnh một tam giác nên $x<y+z\Leftrightarrow x<2-x\Leftrightarrow x<1$

Tương tự ta cũng có $y<1;$ $z<1$

Do đó ta có bất đẳng thức sau:

$(1-x)(1-y)(1-z)>0$

$\Leftrightarrow 1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz>0$

$\Leftrightarrow 4-2(xy+yz+zx)+2xyz<2$         (vì $x+y+z=2$)

$\Leftrightarrow (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)+2xyz<2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz<2$