1 reply to this topic

[adteams]

Tìm đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn 

$8f(x^2)=[f(2x)]^2$ $\forall x,x\epsilon\mathbb{R}$

Edited by adteams, 08-06-2017 - 09:47.

[duylax2412]

Xét dạng tổng quát của đa thức bậc $n$: $f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$

Trong đó $a_{i} \in Z \forall i=0,1,...,n$ và $a_{n}$ khác $0$.

Ta có:

$8f(x^2)=\sum_{i=0}^{n}8a_{i}x^{2i}$ là đa thức bậc $2n$ có hệ số cao nhất là $8a_{n}$

$[f(2x)]^2=[\sum_{i=0}^{n}2^ia_{i}x^i]^2$ cũng là đa thức bậc $2n$ có hệ số cao nhất là $2^{2n}a_{n}^2$

Do đó điều kiện cần để $8f(x^2)=[f(2x)]^2 \forall x\in R$ là $8a_{n}=2^{2n}a_{n}^2 \Leftrightarrow 2^{2n}a_{n}=8$

Nếu $n \geq 2$ thì dễ thấy vô lý,như vậy đa thức đã cho có bậc không vượt quá $1$,tức là $f(x)$ phải có dạng sau:

$f(x)=ax+b$ ($a$ không nhất thiết khác $0$)

Thay vào giả thiết ta có:

$8ax^2+8b=4a^2x^2+4abx+b^2$

Đồng nhất hệ số quy về hệ phương trình giải ra ta được:$a=2,b=0$ hoặc $a=0,b=8$

Tìm được hai hàm là: $f(x)=2x$ hay $f(x)=8$.Thử lại thấy thỏa.