Cho a,b,c là 3 số thực dương .CMR
$\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{5abc}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 12-06-2017 - 19:58
$\sum \frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{5abc}}$
Bắt đầu bởi minhducndc, 12-06-2017 - 19:30
đề thi vào 10 chuyên thái bin
#2
Đã gửi 12-06-2017 - 20:00
linhk2
-
- Thành viên
-
- 86 Bài viết
Hạ sĩ
#4
Đã gửi 12-06-2017 - 20:53
Drago
-
- Thành viên
-
- 462 Bài viết
Sĩ quan
Cho a,b,c là 3 số thực dương .CMR
$\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{5abc}}$
Câu bất mình làm hơi trầy cối!
Theo $Holder$ ta có: $${\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{a\sqrt {3a + 2b} }}} } \right)^2}\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{{3a + 2b}}{a}} } \right) \geqslant {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^3}$$Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $$\frac{{{{\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)}^3}}}{{9 + 2\sum\limits_{cyc} {\frac{b}{a}} }} \geqslant \frac{9}{{5abc}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^3} \geqslant \frac{{81}}{{5abc}} + \frac{{18}}{5}\left( {\frac{1}{{{a^2}c}} + \frac{1}{{{b^2}a}} + \frac{1}{{{c^2}b}}} \right)$$Đặt $\left( {\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right) \to \left( {x,y,z} \right)$ bất đẳng thức trở thành: $${\left( {x + y + z} \right)^3} \geqslant \frac{{81}}{5}xyz + \frac{{18}}{5}\left( {{x^2}z + {y^2}x + {z^2}y} \right)$$Không mất tính tổng quát ta giả sử $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$. Ta có: $${\left( {x + y + z} \right)^3} - \frac{{81}}{5}xyz - \frac{{18}}{5}\left( {{x^2}z + {y^2}x + {z^2}y} \right)$$$$ = {\left( {x - y} \right)^2}\left( {x + y + \frac{{17}}{5}z} \right) + \left( {x - z} \right)\left( {y - z} \right)\left( {4x + \frac{2}{5}y + z} \right) \geqslant 0$$Vậy bất đẳng thức được chứng minh thành công!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 12-06-2017 - 20:53
- didifulls và minhducndc thích
$\mathbb{VTL}$
#6
Đã gửi 12-06-2017 - 22:10
tuaneee111
-
- Thành viên
-
- 174 Bài viết
Trung sĩ
em
lớp 9 chưa học bất đẳng thức Holder có cách nào giải khác phù hợp ko
vào chủ đề mà anh Drago đã trích dẫn liên kết ở trên mà xem
- Drago yêu thích
$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$
Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya 
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
