Cho $a,b,c> 0$ và thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng:
$a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq \frac{18}{a+b+c}$
Cho $a,b,c> 0$ và thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng:
$a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq \frac{18}{a+b+c}$
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Do abc=1 nên $a+b+c\geq 3$
Ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$
$\Rightarrow$ BĐT $\Leftrightarrow$ $(a+b+c)^{3}+3(a+b+c)^{2}\geq 54$
Đúng do $a+b+c\geq 3$
<=> $(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c)(a+b+c)\geq 18$
Áp dụng AM-GM, ta có:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq $\sqrt[6]{(abc)^{3}}=6(abc=1)$
a+b+c$\geq 3\sqrt[3]{abc}=3(abc=1)$
=>($a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c)(a+b+c)\geq 6.3=18$
=>($a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c)(a+b+c) $\geq 18$.Dấu bằng xảy ra <=>a=b=c=1
=>Q.E.D
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
Ta có: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3=2abc+1$.
Suy ra: $a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq a^2+b^2+c^2+2abc+1$.
Ta có BĐT quen thuôc $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$.
Suy ra: $a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{18}{a+b+c}$.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
b đ thức $\Leftrightarrow$ $(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c)(a+b+c)\geqslant 18$
áp dụng bất dẳng thức AM-GM cho 6 số dương ta có
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 6\sqrt[6]{a^{2}.b^{2}.c^{2}.a.b.c}= 6$(vì abc=1)
tương tự bdt AM-GM cho 3 số ta được$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$
nhân 2 vế của bdt ta được dpcm
Đặng Minh Đức CTBer
Bài này sử dụng PQR đơn giản như sau:
Đặt $p= a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $p=a+b+c\geq 3\sqrt{abc}=3\Rightarrow p-3\geq 0$ (*)
Sử dụng bất đẳng thức SCHUR ta có $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}$$\Rightarrow 4pq\leq p^{3}+9$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $p^{3}-2pq+p^{2}\geq 18$
$\Leftrightarrow 2p^{3}-4pq+2p^{2}-36\geq 0 \Leftrightarrow p^{3}+2p^{2}-45\geq 0$
$\Leftrightarrow (p-3)(p^{2}+5p+15)\geq 0$ (**)
Theo (*) thì Bất đẳng thức (**) luôn đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài này không khó, mà toàn xài chiêu khó
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Bản chất vẫn là Schur cái PQR ghi lại cho đẹp mắt thôi
Bài ni cũng đố
Đương nhiên với giả thiết $abc=1$ thì áp dụng AM-GM cơ bản $VT\geq{6}\geq{VP}$
AQ02
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh