Bài 13.
Lời giải (Uchiha Sisui)
Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$. $\Rightarrow p-r=2$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $1-q+pr-r^{2}\geq 0\Leftrightarrow 1-q+2r\geq 0$
Áp dụng BĐT Schur ta có: $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}$
Ta phải chứng minh: $1-q+\frac{2p(4q-p^{2})}{9}\geq 0\Leftrightarrow -2p^{3}+8pq-9q+9\geq 0$
Dễ chứng minh được $q\leq \frac{p^{2}}{3}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $-6p^{3}-p^{2}(9-8p)+27\geq 0\Leftrightarrow 2p^{3}-9p^{2}+27\geq 0\Leftrightarrow (p-3)^{2}(2p+3)\geq 0$
Bất Đẳng Thức cuối luôn đúng ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$