B1. Cho a,b,c > 0 thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a} $
Ta có: $8=\prod (a+b) \geq 8abc\Rightarrow abc\leq 1$
Xét $Q=\sum \frac{1}{a+2b}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{\prod (a+2b)}}=\frac{3}{\sqrt[3]{4\prod (a+b)+abc-2\sum a^2b}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{32+abc-6abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{32-5abc}}=\frac{3^{3}}{\sqrt[3]{32-5abc}.3.3}\geq \frac{3^4}{32-5abc+2.3^3}=\frac{81}{86-5r}$
Đặt $\sqrt[3]{abc}=r$ với $r \in (0;1]$, khi đó ta đi chứng minh:
$P\geq \frac{1}{r}+\frac{81}{86-5r^3}\geq 2$
$\Leftrightarrow 10r^4-5r^3-91r+86\geq 0$
$\Leftrightarrow (r-1)(10r^3+5r^2+5r-86)\geq 0$
$\Leftrightarrow 10r^3+5r^2+5r-86\leq 0$
Xét hàm $f(r)=10r^3+5r^2+5r-86\forall r\in (0;1]$
có $f'(r)=30r^2+10r+5>0\forall r$ suy ra $f(r)$ là hàm đồng biến.
Khi đó: $f(0)=-86;f(1)=-66$ nên $f(r)\leq 0\forall r\in (0;1]$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 17-06-2017 - 19:34