Chủ đề này có 1 trả lời

[trucquynh]

Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn điều kiện:

$(a+\sqrt{1+b^{2}})(b+\sqrt{1+a^{2}})=1$

Tính giá trị của biểu thức:$S=(a^{3}+b^{3})(a^{7}b-5a^{2}b^{4}+21ab^{5}+73)+320$

[Drago]

Xét $a=\sqrt{1+b^2}= 0\Rightarrow a=\sqrt{1+b^2}\geq 1$ ta có:

$(*)\Rightarrow 2a(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1})=1$

$\Rightarrow 2a=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1}}=\frac{\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1}}{2}$

$\Rightarrow 7a^2=-\sqrt{a^4-1}$(vô nghiệm)

Xét $b-\sqrt{1+a^2}=0$, giải tương tự. 

Xét $a-\sqrt{1+b^2}\neq0; b-\sqrt{1+a^2}\neq 0$, khi đó ta có:

$\left\{\begin{matrix} (b+\sqrt{1+a^2})(1+b^2-a^2)-\sqrt{1+b^2}+a=0\\(a+\sqrt{1+b^2})(1+a^2-b^2)-\sqrt{1+a^2}+b=0 \end{matrix}\right.$

Cộng theo vế suy ra $(a+b)\left [ (a-b)^2\left ( 1-\frac{a+b}{\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}} \right )+2 \right ]=0$

Dễ dàng chứng minh biểu thức trong ngoặc vuông vô nghiệm (tự c/m)

Suy ra $a+b=0$, thử lại luôn thoả mãn

Khi đó: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=0$ nên $S=320.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 17-06-2017 - 10:19