cho a,b,c thuộc [0;2] và a+b+c=3
C/M : $3\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}-3(a-1)(b-1)(c-1)\leq 9$
Bổ đề: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
Min:
Ta có: p=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3(a-1)(b-1)(c-1)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc+3ab+3bc+3ca-6=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$+(a+b+c)(ab+bc+ca)-6=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6 $\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{3}-6=\frac{3^{3}}{3}-6=3$
=> Min p=3.ĐTXR <=> a=b=c=1
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
Max:
Ta có: p=3($a^{2}+b^{2}+c^{2}$)-6$\leq 9$$
<=> a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\leq 3$
<=> $(a+b+c)^{2}-2\sum ab-2\leq 3$
<=> $3^{2}-2-3\leq 2\sum ab$
<=>$2\sum ab \geq 4$
<=> $\sum ab\geq 2$
Ta sẽ chứng minh $\sum ab\geq 2$
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
Từ gt => $0 \leq c\leq 1$
Ta có:(a-2)(b-2) $\geq 0$
<=>$ab\geq 2(a+b)-4$
=>$\sum ab \geq 2(a+b)-4+bc+ca=(a+b)(c+2)-4=(3-c)(c+2)-4=-c^{2}+c+6-4=-c^{2}+c+2$
Ta cần cm $-c^{2}+c+2\geq2$
<=> $-c^{2}+c\geq 0$
<=> $0\leq c\leq 1 (luôn đúng trong khoảng c đang xét)
=> bđt được chứng minh. Dấu bằng xảy ra <=> a=2, b=1 ,c=0 và các hoán vị.(Q.E.D)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 17-06-2017 - 13:12
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
Đặt $p=a+b+c=3,q=ab+bc+ca,r=abc$, $S=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)$
Ta có: $S=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc-3(abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1)$
$=p(p^2-3q)+3r-3(r-q+p-1)=21-6q$
Khi đó thì: $3 \leq 21-6q \leq 9\Leftrightarrow 2\leq q \leq 3$
$\bigstar$ Chứng minh: $2 \leq q$
Từ giả thiết ta có: $abc-(a-2)(b-2)(c-2) \geq 0\Leftrightarrow r-(r-2q+4p-8) \geq 0$
$\Leftrightarrow 2q-4p-8 \geq 0 \Leftrightarrow q \geq 2$
Đẳng thức xảy ra khi $p=3, q=2\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,2,3)$ và các hoán vị.
$\bigstar$ Chứng minh $q \leq 3$
$q \leq \frac{p^2}{3}=3$.
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,1)$
Hoàn tất chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 17-06-2017 - 16:47
$\mathbb{VTL}$
Đặt $p=a+b+c=3,q=ab+bc+ca,r=abc$, $S=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)$
Ta có: $S=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)-3(abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1)$
$=p(p^2-3q)-3(r-q+p-1)=21-6q-3r$
Khi đó thì: $3 \leq 21-6q-3r \leq 9\Leftrightarrow 4\leq 2q+r\leq 6$
$\bigstar$ Chứng minh: $4 \leq 2q+r$
Từ giả thiết ta có: $abc-(a-2)(b-2)(c-2) \geq 0\Leftrightarrow r-(r-2q+4p-8) \geq 0$
$\Leftrightarrow 2q-4p-8 \geq 0 \Leftrightarrow q \geq 2$
Khi đó: $2q+r \geq 2q \geq 4$
Đẳng thức xảy ra khi $p=3, q=2, r=0\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,2,3)$ và các hoán vị.
$\bigstar$ Chứng minh $2q+r \leq 6$
Hiện vẫn bí
Bài bạn sai ngay cái S.ta có (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
Đề hỏi: a^{3}+b^{3}+c^{3}.....Đâu mất 3abc rồi
Sửa lại => 21-6q $\leq 9$
<=> $6q\geq 12$
<=> $q\geq 2$ .Bđt này mình đã chứng minh ở trên
=> 21-6q $\leq 9$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 17-06-2017 - 14:19
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
Bài bạn sai ngay cái S.ta có (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
Đề hỏi: a^{3}+b^{3}+c^{3}.....Đâu mất 3abc rồi
Định lên sửa đây nè@@
$\mathbb{VTL}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh