Chủ đề này có 1 trả lời

[thangnguyenst95]

Cho hàm số $y=x^3-3x^2+mx$, O là gốc tọa độ. Gọi X là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho hàm số trên có hai cực trị tại A, B sao cho $S_{\Delta OAB}= \frac{2}{3\sqrt{3}}$. Tính tổng các phần tử của tập hợp X.

$A. -1$

$B. 0$

$C. 3$

$D. 2$

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số $y=x^3-3x^2+mx$, O là gốc tọa độ. Gọi X là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho hàm số trên có hai cực trị tại A, B sao cho $S_{\Delta OAB}= \frac{2}{3\sqrt{3}}$. Tính tổng các phần tử của tập hợp X.

$A. -1$

$B. 0$

$C. 3$

$D. 2$

$y'=3x^2-6x+m$

$y'=0\Leftrightarrow 3x^2-6x+m=0$

Điều kiện để đồ thị có $2$ điểm cực trị là $\Delta '=9-3m> 0$ hay $m< 3$.

Khi đó, gọi $A$ và $B$ lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị, ta có phương trình của đường thẳng $AB$ là :

$y=\frac{2m-6}{3}\ x+\frac{m}{3}$ (phần dư khi chia $x^3-3x^2+mx$ cho $3x^2-6x+m$)

Đường thẳng $AB$ có hệ số góc $k=\frac{2m-6}{3}$ và cắt trục $Ox$ tại điểm $C$ có $x_C=\frac{m}{6-2m}$

$|x_A-x_B|=\frac{2\sqrt{\Delta '}}{3}=\frac{2\sqrt{9-3m}}{3}$

$y_A-y_B=|k|.|x_A-x_B|=\left | \frac{2m-6}{3} \right |.\frac{2\sqrt{9-3m}}{3}$

$S_{OAB}=\frac{OC.(y_A-y_B)}{2}=\frac{|x_C|.(y_A-y_B)}{2}=\left | \frac{m}{6-2m} \right |.\left | \frac{2m-6}{3} \right |.\frac{\sqrt{9-3m}}{3}=\left | \frac{m\sqrt{9-3m}}{9} \right |$

$S_{OAB}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{m^2(9-3m)}{81}=\frac{4}{27}\Leftrightarrow m^3-3m^2+4=0\Leftrightarrow m=-1$ hoặc $m=2$

Vậy $X=\left \{ -1;2 \right \}\Rightarrow$ tổng các phần tử của $X$ là $1$.