Cho $a, b, c\in \mathbb{R}$ thỏa $ab+bc+ca=3.$ Chứng minh rằng: $M=\sqrt[3]{\frac{a^{6}+b^{6}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^{6}+c^{6}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^{6}+a^{6}}{2}}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6.$
Bài toán bất đẳng thức trong đề thi chọn đội tuyển tỉnh BR-VT năm 2015.
#1
Đã gửi 21-06-2017 - 19:13
#2
Đã gửi 21-06-2017 - 20:35
Cho $a, b, c\in \mathbb{R}$ thỏa $ab+bc+ca=3.$ Chứng minh rằng: $M=\sqrt[3]{\frac{a^{6}+b^{6}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^{6}+c^{6}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^{6}+a^{6}}{2}}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6.$
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức nhỏ sau:
$(x-1)^{4}(23x^2-16x+23)\geq$ 0
<=> $(3x^2-3x+3)^{3}\geq 4x^6+4$
<=> $\sqrt[3]{4x^6+4}+4x\leq 3x^2+3$
Thay x=$\frac{a}{b}$
Ta được $\sqrt[3]{\frac{a^6+b^6}{2}}+2ab\leq \frac{3}{2}(a^2+b^2)$
Cộng tương tự lại => ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 21-06-2017 - 20:36
- Zz Isaac Newton Zz, NHoang1608, duylax2412 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 27-06-2017 - 20:08
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức nhỏ sau:
$(x-1)^{4}(23x^2-16x+23)\geq$ 0
<=> $(3x^2-3x+3)^{3}\geq 4x^6+4$
<=> $\sqrt[3]{4x^6+4}+4x\leq 3x^2+3$
Thay x=$\frac{a}{b}$
Ta được $\sqrt[3]{\frac{a^6+b^6}{2}}+2ab\leq \frac{3}{2}(a^2+b^2)$
Cộng tương tự lại => ĐPCM
Một cách làm khác, dài hơn...
Theo bất đẳng thức $Cauchy,$ với mọi $a, b$ thỏa $a^{2}+b^{2}> 0$ ta có:
$\sqrt[3]{\frac{a^{6}+b^{6}}{2}}=\sqrt[3]{\frac{(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4})}{2}}=\frac{{\sqrt[3]{(a^{2}+b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2})^{2}(4a^{4}-4a^{2}b^{2}+4b^{4})}}}{2(a^{2}+b^{2})}\leq \frac{2(a^{2}+b^{2})^{2}+4a^{4}-4a^{2}b^{2}+4b^{4}}{6(a^{2}+b^{2})}=\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}}.$
Từ giả thiết suy ra $a, b, c$ không thể có đồng thời hai số bằng không.
Do đó $\sum \sqrt[3]{\frac{a^{6}+b^{6}}{2}}\leq \sum \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}}$ (1)
Mà $\sum \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2\left [ \frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{c^{2}+a^{2}} \right ]=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2\left [ \left ( \frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}+b^{2}}{4} \right )+\left ( \frac{b^{2}c^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{4} \right )+\left ( \frac{c^{2}a^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{4} \right ) \right ]\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ca)=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\sqrt[3]{\frac{a^{6}+b^{6}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^{6}+c^{6}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^{6}+a^{6}}{2}}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6.$
- NHoang1608 yêu thích
#4
Đã gửi 30-06-2017 - 21:40
Phương pháp sau đây dựa trên AM-GM cơ bản và BĐTĐ:
Theo AM-GM cho 3 số dương ta có đánh giá:
$3{\sqrt[3]{\frac{a^6+b^6}{2}}}$ $\leq$ $\frac{a^6+b^6}{a^4+b^4}$ + $\frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{2}$
$=\frac{5(a^2+b^2)}{2}-\frac{a^2b^2(a^2+b^2)}{a^4+b^4}-\frac{2a^2b^2}{a^2+b^2}$
Lúc này BĐT đã cho viết lại thành:
$4(a^2+b^2+c^2)+\sum{\frac{a^2b^2(a^2+b^2)}{a^4+b^4}}+\sum{\frac{2a^2b^2}{a^2+b^2}}\geq{6(ab+bc+ca)}$
Sau vài giây $S.O.S$ Ta đưa BĐT trên trở thành :
$\sum$$(a-b)^4(\frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(a+b)^2+2(a^2+ab+b^2)}{a^4+b^4}) \geq{0}$
Quá đúng. Hoàn tất CM.
AQ02
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh