Chủ đề này có 2 trả lời

[TOAN2506]

Cho $a;b;c >0$ và  $a+b+c=1$

CMR $\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 02-07-2017 - 15:33

[Hoang Dinh Nhat]

cmr $\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\geq 2$

Bài này quá quen thuộc rồi

Ta có BĐT: $a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

$\sum \frac{a+bc}{b+c}=\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}$

Áp dụng BĐT trên ta có: $\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 2(a+b+c)=2$$Q.E.D$

[Duy Thai2002]

Bổ đề 1:a+b+c=1 =>a+bc=(a+b)(a+c)

Bổ đề 2: Cho x,y,z$> 0=> x+y+z\geq \sum \sqrt{xy}$

Áp dụng bổ đề, ta có:

$\sum \frac{a+bc}{b+c}=\sum \frac{(a+c)(a+b)}{b+c}\geq \sum \sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}.\frac{(b+c)(b+a)}{c+a}}=\sum a+b=2$

=> đpcm