chàng ngự lâm trong công viên

#1
Kimluan

Đã gửi 28-06-2006 - 19:07

Thượng sĩ

Thành viên
226 Bài viết

Cho http://dientuvietnam...x.cgi?a=b=c=1/2
hi hi định đưa bài này qua THPT nhưng thấy dễ quá nên cho sang đây. Chắc là các bạn THCS xơi tái bài này ngay chớ gì

#2
TIG Messi

Đã gửi 30-06-2006 - 21:04

^_^ Need + Enough = Success ^_^

Thành viên
368 Bài viết

Cho a,b,c thỏa mãn :
a<b<c; a+b+c=6; ab+bc+ca=9.
CMR: 0<a<1<b<3<c<4

Diễn đàn 3T - Diễn đàn Toán dành cho giáo viên, học sinh THCS và tiểu học

#3
Math,math n math

Đã gửi 01-07-2006 - 15:03

Hạ sĩ

Thành viên
74 Bài viết

Đầu tiên xin phát biểu Bđt sau mà ko chứng minh :Rightarrow

$\sum \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geq \dfrac{a+b+c}{2}$
mà $a+b+c \geq a+b^2+c^2=1$ nên ta có đpcm
Mình thấy điều kiện cung quan trong đấy chứ :Rightarrow

,đúng là ko cần là $a+b^2+c^2=1$
chỉ cần thế này $a^x+b^y+c^z \geq 1$ với x,y,z thuộc N* và tất nhiên kèm với a,b,c>0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math,math n math: 02-07-2006 - 08:55

#4
thachvinhkhoa

Đã gửi 01-07-2006 - 15:30

Hạ sĩ

Thành viên
93 Bài viết

Hichic, sao mấy cái em tìm thấy toàn kì hoặc không vậy.
Điều thứ nhất, dễ thấy rằng
$\sum \dfrac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}= \dfrac{1}{2}\sum\dfrac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}$ .
Vậy chỉ cần chứng minh: $\sum\dfrac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}} \geq 1$ .
Hãy thử a;b;c với giá trị 0.1;0.2;0.3 sẽ thấy không đúng. Vậy điều kiện đề bài cho chắc chắn là chìa khóa của bài toán. Nhờ các bạn giải típ!!!

Cái tôi luôn tìm cách dung hòa mâu thuẫn giữa cái ấy và cái siêu tôi.

#5
fecma21

Đã gửi 01-07-2006 - 15:37

Thiếu úy

Thành viên
514 Bài viết

có gì đâu , đề cho $\ a+b^2+c^2$ = 1 ; mà a,b,c $\geq$ 0;

=> a,b,c $\in$ [0,1] ;

=> a+b+c $\geq$ $\ a+b^2+c^2$ = 1;

giống như math,math chỉ cần $\ a^n+b^n+c^n$ $\geq$ 1 là được? vì $\ (a+b+c)^n$ > $\ a^n+b^n+c^n$ >1

fecma21

2K ID

T N T

#6
TIG Messi

Đã gửi 01-07-2006 - 15:37

^_^ Need + Enough = Success ^_^

Thành viên
368 Bài viết

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR:
$\sum a^{2}b(a-b) \geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sir Math: 01-07-2006 - 15:38

Diễn đàn 3T - Diễn đàn Toán dành cho giáo viên, học sinh THCS và tiểu học

#7
zaizai

Đã gửi 02-07-2006 - 09:52

Tiến sĩ diễn đàn toán

Thành viên
1380 Bài viết

Cho http://dientuvietnam...metex.cgi?a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a\ge 2(ab^2+bc^2+ca^2)$

Bài này anh em làm giải trí cho vui. :neq

#8
detectivehien

Đã gửi 02-07-2006 - 10:05

I'm detectivehien

Thành viên
310 Bài viết

Cho http://dientuvietnam...metex.cgi?a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a\ge 2(ab^2+bc^2+ca^2)$

Bài này anh em làm giải trí cho vui.

Hihi spam nhanh kẻo hết :neq

$a^3+ac^2\geq 2ca^2$
$b^3+a^2b\geq 2ab^2$
$c^3+b^2c\geq 2bc^2$
Cộng vào

Trời cao trong xanh sương sớm long lanh mặt nước xanh xanh cành lá rung rinh...

#9
Math,math n math

Đã gửi 02-07-2006 - 10:06

Hạ sĩ

Thành viên
74 Bài viết

bài này là sao đây
sai đề mất rùi
nếu vậy thì nó <=> $a(a-c)^2+c(c-b)^2+b(b-a)^2 \geq 0$

#10
zaizai

Đã gửi 03-07-2006 - 18:02

Tiến sĩ diễn đàn toán

Thành viên
1380 Bài viết

bài này là sao đây
sai đề mất rùi
nếu vậy thì nó <=> $a(a-c)^2+c(c-b)^2+b(b-a)^2 \geq 0$

Bạn bị làm sao vậy

Vẫn đúng đó thôi. Thực ra bài này chơi AM-GM là được rồi

. Làm bài khó hơn nè:
$a^4+b^4+c^4+a^3b+b^3c+c^3a\ge 2(ab^3+bc^3+ca^3)$

Chắc chắn lần này ko dùng theo cách của Hiền được nữa

#11
thachvinhkhoa

Đã gửi 03-07-2006 - 20:19

Hạ sĩ

Thành viên
93 Bài viết

Hichic, theo em làm thế này:
Gọi p là nửa chu vi thì BDT trở thành:
$a^{2}b(p-b)+b^{2}c(p-c)+c^{2}a(p-a) \geq a^{2}b(p-a)+b^{2}c(p-b)+c^{2}a(p-c)$ . Đặt $p-a=x ; p-b=y ; p-c=z \Rightarrow a=y+z;b=...;c=...$ . Thay vào, ta phải cm:
$\sum (x+y)^{2}(z+y)x \geq (x+y)^{2}(z+y)x \Leftrightarrow x^{3}z+y^{3}x+z^{3}y \geq xyz(x+y+z) \Leftrightarrow \dfrac{x^{2}}{y}+\dfrac{y^{2}}{z}+\dfrac{z^{2}}{x} \geq x+y+z$ . Cái này ok rùi.
Nó hơi cực nhọc ở khúc sau là phải nhân tung ra, nhưng nếu chúng ta bít vận dụng sự đối xứng của x;y;z thì đơn giản hai vế rất nhanh. Tuy nhiên, giải thế còn khá thiếu mỹ quan.

Cái tôi luôn tìm cách dung hòa mâu thuẫn giữa cái ấy và cái siêu tôi.

#12
NkMAsTeR

Đã gửi 04-07-2006 - 07:49

21642

Thành viên
107 Bài viết

Bài này chúng ta có thể dùng phép thế Ravi nhưng cách hay nhất là đặt a=max{a,b,c}rồi biến đổi về dạng $a(b+c-a)(b-c)^2+b(a-b)(a-c)a+b-c) \geq 0$
P/s: Đây là cách đã đạt huy chương vàng đặt biệt năm đó của 1 học sinh 14 tuổi người Đức

Đời mà...

#13
Kimluan

Đã gửi 04-07-2006 - 08:38

Thượng sĩ

Thành viên
226 Bài viết

Đầu tiên xin phát biểu Bđt sau mà ko chứng minh
$\sum \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geq \dfrac{a+b+c}{2}$
mà $a+b+c \geq a+b^2+c^2=1$ nên ta có đpcm
Mình thấy điều kiện cung quan trong đấy chứ ,đúng là ko cần là $a+b^2+c^2=1$
chỉ cần thế này $a^x+b^y+c^z \geq 1$ với x,y,z thuộc N* và tất nhiên kèm với a,b,c>0

Giải sai rồi, ở chỗ

Đầu tiên xin phát biểu Bđt sau mà ko chứng minh
$\sum \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geq \dfrac{a+b+c}{2}$

thực ra ta chỉ có bdt sau:
$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2} \geq \dfrac{a+b+c}{3}$
nhưng nếu áp dụng bdt này và đánh giá $a+b+c \geq a+b^2+c^2=1$ thì chỉ thu được :
$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2} \geq \dfrac{1}{3}$
điều này không chứng tỏ được gì cả, nguyên nhân chính vì đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2 nhưng việc đánh giá $a+b+c \geq a+b^2+c^2=1$ lại không đảm bảo dấu bằng xảy ra nên hi vọng giải đúng là siêu tưởng.
Cấc bạn cứ bình tỉnh giải lại đi, bài này không khó lắm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kimluan: 04-07-2006 - 08:43

#14
Khách- Snowman_*

Đã gửi 04-07-2006 - 09:56

Khách

$a^4+b^4+c^4+a^3b+b^3c+c^3a\ge 2(ab^3+bc^3+ca^3)$

Bài của zaizai đã có rồi thì phải
Theo anh cách hay nhất cho bài này là
G/s: c=min{a,b,c} thì a= c+ x, b=c+y với x,y >= 0.
Biến đổi BDT cần cm về dạng $f(x,y) \geq\ 0$ đến đó thì gần như là xong...

#1 Kimluan Đã gửi 28-06-2006 - 19:07

#2 TIG Messi Đã gửi 30-06-2006 - 21:04

#3 Math,math n math Đã gửi 01-07-2006 - 15:03

#4 thachvinhkhoa Đã gửi 01-07-2006 - 15:30

#5 fecma21 Đã gửi 01-07-2006 - 15:37

#6 TIG Messi Đã gửi 01-07-2006 - 15:37

#7 zaizai Đã gửi 02-07-2006 - 09:52

#8 detectivehien Đã gửi 02-07-2006 - 10:05

#9 Math,math n math Đã gửi 02-07-2006 - 10:06

#10 zaizai Đã gửi 03-07-2006 - 18:02

#11 thachvinhkhoa Đã gửi 03-07-2006 - 20:19

#12 NkMAsTeR Đã gửi 04-07-2006 - 07:49

#13 Kimluan Đã gửi 04-07-2006 - 08:38

#14 Khách- Snowman_* Đã gửi 04-07-2006 - 09:56

1 người đang xem chủ đề

Đăng nhập

#1
Kimluan

Đã gửi 28-06-2006 - 19:07

#2
TIG Messi

Đã gửi 30-06-2006 - 21:04

#3
Math,math n math

Đã gửi 01-07-2006 - 15:03

#4
thachvinhkhoa

Đã gửi 01-07-2006 - 15:30

#5
fecma21

Đã gửi 01-07-2006 - 15:37

#6
TIG Messi

Đã gửi 01-07-2006 - 15:37

#7
zaizai

Đã gửi 02-07-2006 - 09:52

#8
detectivehien

Đã gửi 02-07-2006 - 10:05

#9
Math,math n math

Đã gửi 02-07-2006 - 10:06

#10
zaizai

Đã gửi 03-07-2006 - 18:02

#11
thachvinhkhoa

Đã gửi 03-07-2006 - 20:19

#12
NkMAsTeR

Đã gửi 04-07-2006 - 07:49

#13
Kimluan

Đã gửi 04-07-2006 - 08:38

#14
Khách- Snowman_*

Đã gửi 04-07-2006 - 09:56