Chủ đề này có 3 trả lời

[TenLaGi]

Cho 4 số dương a,b,c,d sao cho

$\sum a=\sum \frac{1}{a}$ .CMR 2$2(a+b+c+d)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$

[trieutuyennham]

Ta có $a+b+c+d=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\geq \frac{16}{a+b+c+d}$

 Suy ra $a+b+c+d\geq 4$

$\sum \sqrt{a^{2}+3}\leq \sqrt{(a+b+c+d)^{2}+48}$

BĐT tương đương $2(a+b+c+d)\geq \sqrt{(a+b+c+d)^{2}+48}$

$\Leftrightarrow 3(a+b+c+d)^{2}\geq 48$ (đúng do $a+b+c+d\geq 4$)

[diemdaotran]

Cho 4 số dương a,b,c,d sao cho

$\sum a=\sum \frac{1}{a}$ .CMR 2$2(a+b+c+d)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$

BDT tương đương $\sum (2a-\sqrt{a^2+3})\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{a^2-1}{2a+\sqrt{a^2+3}}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq 0$ giả sử $a\geq b\geq c\geq d\Rightarrow \frac{a^2-1}{a}\geq \frac{b^2-1}{b}\geq \frac{c^2-1}{c}\geq \frac{d^2-1}{d}$ và $\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{d^2}}}$ Áp dụng BDT chêbyshev ta có$\sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{a^2-1}{a})(\sum \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}})$   mà $\sum \frac{a^2-1}{a}=(a+b+c+d)-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})=0$

Do đó suy ra ĐPCM

dau bang xay ra khi a=b=c=d=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi diemdaotran: 15-07-2017 - 22:35

[cristianoronaldo]

Ta có $a+b+c+d=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\geq \frac{16}{a+b+c+d}$

 Suy ra $a+b+c+d\geq 4$

$\sum \sqrt{a^{2}+3}\leq \sqrt{(a+b+c+d)^{2}+48}$

BĐT tương đương $2(a+b+c+d)\geq \sqrt{(a+b+c+d)^{2}+48}$

$\Leftrightarrow 3(a+b+c+d)^{2}\geq 48$ (đúng do $a+b+c+d\geq 4$)

Ê, làm sai rồi. Chiều bđt Minkowski là ngược lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 15-07-2017 - 08:00