Cho 4 số dương a,b,c,d sao cho
$\sum a=\sum \frac{1}{a}$ .CMR $2(a+b+c+d)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TenLaGi: 14-07-2017 - 20:27
Cho 4 số dương a,b,c,d sao cho
$\sum a=\sum \frac{1}{a}$ .CMR $2(a+b+c+d)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TenLaGi: 14-07-2017 - 20:27
~~~Chữ tâm kia mới bằng ba chữ tài~~~
Dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là OK
Nothing in your eyes
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 15-07-2017 - 11:45
$\mathbb{VTL}$
Bài này còn có thể giải bằng $Chebyshev$ nữa thì phải
BĐT tương đương với: $\sum (2a-\sqrt{a^2+3})\geq 0 \Leftrightarrow \sum \frac{a^2-1}{2a+\sqrt{a^2+3}}\geq 0 \Leftrightarrow \sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq 0$ giả sử $a\geq b\geq c\geq d$ $\Rightarrow \frac{a^2-1}{a}\geq \frac{b^2-1}{b}\geq \frac{c^2-1}{c}\geq \frac{d^2-1}{d}$ và $\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{d^2}}}$ áp dụng BĐT chêbyshev ta được: $\sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{a^2-1}{a})(\sum \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}})$ mà $\sum \frac{a^2-1}{a}=(a+b+c+d)-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})=0$ Dó đó suy ra ĐPCM DBXR khi a=b=c=d=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi diemdaotran: 15-07-2017 - 22:33
$\sqrt{M}.\sqrt{F}=\sqrt{MF}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh