4 replies to this topic

[TenLaGi]

Cho 4 số dương a,b,c,d sao cho

$\sum a=\sum \frac{1}{a}$ .CMR $2(a+b+c+d)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$

Edited by TenLaGi, 14-07-2017 - 20:27.

[cristianoronaldo]

Dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là OK

[Drago]

Solution by ĐXK

 

$VP^2=\left (  \sum\sqrt{a\left ( a+\frac{3}{a} \right )}\right )^2 \le (a+b+c+d)(a+b+c+d+3\sum\frac{1}{a})=x.4x=4x^2=VT^2$

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$

Edited by Drago, 15-07-2017 - 11:45.

[AnhTran2911]

Bài này còn có thể giải bằng $Chebyshev$ nữa thì phải

[diemdaotran]

Bài này còn có thể giải bằng $Chebyshev$ nữa thì phải

BĐT tương đương với:  $\sum (2a-\sqrt{a^2+3})\geq 0 \Leftrightarrow \sum \frac{a^2-1}{2a+\sqrt{a^2+3}}\geq 0 \Leftrightarrow \sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq 0$    giả sử $a\geq b\geq c\geq d$ $\Rightarrow \frac{a^2-1}{a}\geq \frac{b^2-1}{b}\geq \frac{c^2-1}{c}\geq \frac{d^2-1}{d}$   và   $\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{d^2}}}$   áp dụng BĐT chêbyshev ta được:  $\sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{a^2-1}{a})(\sum \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}})$  mà   $\sum \frac{a^2-1}{a}=(a+b+c+d)-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})=0$   Dó đó suy ra ĐPCM  DBXR khi a=b=c=d=1

Edited by diemdaotran, 15-07-2017 - 22:33.