Chủ đề này có 2 trả lời

[vuongtungduong123]

Tim tat ca cac bo so (x,y) nguyen duong sao cho x^2+1 chia het cho y, y^3+1 chia het cho x^2

[dat102]

bài này không phải phương trình Diophantos nhé. Nó thuộc phần Chia hết trong Số học

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dat102: 15-07-2017 - 15:06

[trambau]

Tim tat ca cac bo so (x,y) nguyen duong sao cho x^2+1 chia het cho y, y^3+1 chia het cho x^2

giả sử $x \leq y$.

Nếu x = 1 thì $x + 1 = 2 \vdots y$ $\Rightarrow y = 1$ hoặc 2 $\Rightarrow (x, y) = (1, 1), (1, 2)$.

Nếu $x \geq 2$ thì $2 \leq x \leq y$

Ta có $\left\{\begin{matrix} x + 1 \vdots y\\ y + 1 \vdots x \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow (x + 1)(y + 1) = (xy + x + y + 1) \vdots xy$ $\Rightarrow (x + y + 1) \vdots xy$

$\Rightarrow \frac{x + y + 1}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy}$ là số nguyên dương.

Mà $2 \leq x \leq y$ nên $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Từ đó suy ra $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy} = 1$ (1) $\Rightarrow 1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{5}{2x}$ $\Rightarrow 2x \leq 5$ $\Rightarrow$ x = 2

Thay vào (1) ta có $\frac{1}{2} + \frac{1}{y} + \frac{1}{2y} = 1$ $\Rightarrow y = 3$

.....