Bài 1: $a,b,c\ge{0}$
CMR: $\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}\geq{\frac{a+b+c}{2}}$
Bài 2: $a,b,c\ge{0}$
CMR: $\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}\geq{\frac{a+b+c}{3}}$
Bài 1: $a,b,c\ge{0}$
CMR: $\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}\geq{\frac{a+b+c}{2}}$
Bài 2: $a,b,c\ge{0}$
CMR: $\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}\geq{\frac{a+b+c}{3}}$
AQ02
Bài 1: $a,b,c\ge{0}$
CMR: $\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}\geq{\frac{a+b+c}{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 03-08-2017 - 11:28
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
$\sum {\frac{{{a^4}}}{{{a^3} + {b^3}}} = \sum {a - \frac{{a{b^3}}}{{{a^3} + {b^3}}}} \ge \frac{{a + b + c}}{2}}$BĐT lúc này $\Leftrightarrow \sum {\frac{{a{b^3}}}{{{a^3} + {b^3}}} \le \frac{{a + b + c}}{2}}$$\sum {\frac{{a{b^3}}}{{{a^3} + {b^3}}} = \sum {\frac{{a{b^3}}}{{\sqrt {({a^6} + 2{a^3}{b^3} + {b^6})} }}} \le \sum {\frac{{a{b^3}}}{{\sqrt[4]{{8{a^3}{b^3}({a^6} + {b^6})}}}}} = } \frac{1}{{\sqrt[4]{8}}}.\sqrt[4]{{a{b^3}}}\sqrt[4]{{\frac{{{b^6}}}{{{a^6} + {b^6}}}}}$Ta có Bổ đề vailsile $(ab^3+bc^3+ca^3) \leq (a^2+b^2+c^2)^2$Nên$\sum {\sqrt[4]{{a{b^3}}}\sqrt[4]{{\frac{{{b^6}}}{{{a^6} + {b^6}}}}}} \le \sqrt {\left( {\sqrt {a{b^3}} + \sqrt {b{c^3}} + \sqrt {c{a^3}} } \right)\left( {\sum {\frac{{{b^6}}}{{{a^6} + {b^6}}}} } \right)} \le \sqrt {\frac{1}{3}{{(a + b + c)}^2}\left( {\sum {\frac{{{b^6}}}{{{a^6} + {b^6}}}} } \right)}$$\rightarrow \sum {\frac{{a{b^3}}}{{{a^3} + {b^3}}} \le \frac{1}{{\sqrt[4]{{72}}}}} \left( {a + b + c} \right)\sqrt {\left( {\sum {\frac{{{b^6}}}{{{a^6} + {b^6}}}} } \right)} \le \frac{{a + b + c}}{2}$$B{\rm{D}}T \Leftrightarrow \sum {\sqrt {\frac{{{a^6}}}{{{b^6} + {a^6}}}} } \le \frac{3}{{\sqrt 2 }}$BĐT này quá quen thuộc rồiP/s: Mình làm ntn dc coi là dùng ngược dấu ko
Hơi giống trong sách giải thì phải
AQ02
Mình cũng ko rõ đâu
Bài này làm vài lần rồi...Cx đâu khó để suy nghĩ
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
Bài 1: $a,b,c\ge{0}$
CMR: $\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}\geq{\frac{a+b+c}{2}}$
Có một cách khá đơn giản cho bài 1 đó là sử dụng phương pháp SOS.
Bđt cần cm <=> $\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+b^{3}}-\sum \frac{5a-3b}{4}\geq 0$
<=> $S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(c-a)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq 0$, trong đó:
$S_{a}=\frac{3c^{2}+bc-b^{2}}{4(c^{3}+b^{3})}$, $S_{b}=\frac{3a^{2}+ac-c^{2}}{4(a^{3}+c^{3})}$, $S_{c}=\frac{3b^{2}+ab-a^{2}}{4(a^{3}+b^{3})}$
Ta sẽ cm bđt trên. Thật vậy, không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
Dễ dàng suy ra được $S_{b}\geq 0$
Ta có:
$.S_{b}+S_{a}=\frac{3a^{2}+ac-c^{2}}{4(a^{3}+c^{3})}+\frac{3c^{2}+bc-b^{2}}{4(b^{3}+c^{3})}\geq \frac{3a^{2}+ac-c^{2}}{4(a^{3}+c^{3})}+\frac{3c^{2}+bc-b^{2}}{4(a^{3}+c^{3})}=\frac{3a^{2}+ac-c^{2}+3c^{2}+bc-b^{2}}{4(a^{3}+c^{3})}\geq \frac{2a^{2}+ac+2c^{2}+bc}{4(a^{3}+c^{3})}\geq 0$
$.S_{b}+S_{c}=\frac{3a^{2}+ac-c^{2}}{4(a^{3}+c^{3})}+\frac{3b^{2}+ab-a^{2}}{4(a^{3}+b^{3})}\geq \frac{3a^{2}+ac-c^{2}}{4(a^{3}+b^{3})}+\frac{3b^{2}+ab-a^{2}}{4(a^{3}+b^{3})}=\frac{3a^{2}+ac-c^{2}+3b^{2}+ab-a^{2}}{4(a^{3}+b^{3})}\geq \frac{2a^{2}+ac+2b^{2}+ab}{4(a^{3}+b^{3})}\geq 0$
=> $S_{b}\geq 0, S_{b}+S_{a}\geq 0, S_{c}+S_{b}\geq 0$ nên theo định lý 2 SOS
=> $S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(c-a)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq 0$
=> đpcm.
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
Chiều giờ bận đi học nên không rảnh. Giờ có thời gian thì làm nốt luôn bài 2
Tiếp nối ý tưởng bài 1 thì bài 2 ta cũng sử dụng phương pháp SOS
Bđt <=> $\sum \frac{a^{3}}{2a^{2}+b^{2}}-\sum \frac{5a-2b}{9}\geq 0$
<=> $S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(c-a)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq 0$, trong đó:
$S_{a}=\frac{2c-b}{9(2b^{2}+c^{2})}, S_{b}=\frac{2a-c}{9(2c^{2}+a^{2})}, S_{c}=\frac{2b-a}{9(2a^{2}+b^{2})}$
Ta sẽ cm bất đẳng thức trên. Thật vậy, không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
Dễ dàng suy ra được $S_{b}\geq 0$
Ta có:
$.S_{b}+S_{a}=S_{a}=\frac{2c-b}{9(2b^{2}+c^{2})}+\frac{2a-c}{9(2c^{2}+a^{2})}\geq \frac{2c-b}{9(2b^{2}+a^{2})}+\frac{2a-c}{9(2b^{2}+a^{2})}=\frac{2c-b+2a-c}{9(2b^{2}+a^{2})}=\frac{c+2a-b}{9(2b^{2}+a^{2})}\geq 0$
$.S_{b}+S_{c}=\frac{2a-c}{9(2c^{2}+a^{2})}+\frac{2b-a}{9(2a^{2}+b^{2})}\geq \frac{2a-c}{9(2a^{2}+b^{2})}+\frac{2b-a}{9(2a^{2}+b^{2})}=\frac{2a-c+2b-a}{9(2a^{2}+b^{2})}=\frac{a+2b-c}{9(2a^{2}+b^{2})}\geq 0$
$\Rightarrow S_{b}\geq 0, S_{b}+S_{a}\geq 0, S_{b}+S_{c}\geq 0$ nên theo định lý 2 SOS
$\Rightarrow S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(c-a)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq 0$
=> Đpcm.
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
Có một cách khá đơn giản cho bài 1 đó là sử dụng phương pháp SOS.
Bđt cần cm <=> $\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+b^{3}}-\sum \frac{5a-3b}{4}\geq 0$
<=> $S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(c-a)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq 0$, trong đó:
$S_{a}=\frac{3c^{2}+bc-b^{2}}{4(c^{3}+b^{3})}$, $S_{b}=\frac{3a^{2}+ac-c^{2}}{4(a^{3}+c^{3})}$, $S_{c}=\frac{3b^{2}+ab-a^{2}}{4(a^{3}+b^{3})}$
Ta sẽ cm bđt trên. Thật vậy, không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
Dễ dàng suy ra được $S_{b}\geq 0$
Ta có:
$.S_{b}+S_{a}=\frac{3a^{2}+ac-c^{2}}{4(a^{3}+c^{3})}+\frac{3c^{2}+bc-b^{2}}{4(b^{3}+c^{3})}\geq \frac{3a^{2}+ac-c^{2}}{4(a^{3}+c^{3})}+\frac{3c^{2}+bc-b^{2}}{4(a^{3}+c^{3})}=\frac{3a^{2}+ac-c^{2}+3c^{2}+bc-b^{2}}{4(a^{3}+c^{3})}\geq \frac{2a^{2}+ac+2c^{2}+bc}{4(a^{3}+c^{3})}\geq 0$
$.S_{b}+S_{c}=\frac{3a^{2}+ac-c^{2}}{4(a^{3}+c^{3})}+\frac{3b^{2}+ab-a^{2}}{4(a^{3}+b^{3})}\geq \frac{3a^{2}+ac-c^{2}}{4(a^{3}+b^{3})}+\frac{3b^{2}+ab-a^{2}}{4(a^{3}+b^{3})}=\frac{3a^{2}+ac-c^{2}+3b^{2}+ab-a^{2}}{4(a^{3}+b^{3})}\geq \frac{2a^{2}+ac+2b^{2}+ab}{4(a^{3}+b^{3})}\geq 0$
=> $S_{b}\geq 0, S_{b}+S_{a}\geq 0, S_{c}+S_{b}\geq 0$ nên theo định lý 2 SOS
=> $S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(c-a)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq 0$
=> đpcm.
Do bài toán không đối xứng bạn cần phải xét thêm trường hợp : $c \ge b \ge a$
Không dùng pp sos thì giải k ra hẻ pạn
Phương pháp SOS rất mạnh, giải như bạn Duy Thai2002 thì OK rồi nhưng bạn xét thiếu trường hợp như mình nói.
Còn bạn AnhTran2911 cũng có lời giải đẹp đấy chứ ! dễ hiểu mà, một vài chỗ bạn thiếu sót dấu căn bậc 2, bạn AnhTran2911 xem lại.
bạn này mượn bổ đề vasile rất hay.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen kd: 16-08-2017 - 14:09
Phương pháp SOS rất mạnh, giải như bạn Duy Thai2002 thì OK rồi nhưng bạn xét thiếu trường hợp như mình nói.
Còn bạn AnhTran2911 cũng có lời giải đẹp đấy chứ ! dễ hiểu mà . bạn ấy mượn bổ đề vasile rất hay.
mình nghĩ không cần xét trường hợp kia vì theo định lý SOS nếu$a\geq b\geq c$ và $S_{b}\geq 0,S_{b}+S_{a}\geq 0,S_{b}+S_{c}\geq 0$ thì $S\geq 0$
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
Không dùng pp sos thì giải k ra hẻ pạn
Có thể ra giống như bạn Nguyen Kd đã nói ở dưới.
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
mình nghĩ không cần xét trường hợp kia vì theo định lý SOS nếu$a\geq b\geq c$ và $S_{b}\geq 0,S_{b}+S_{a}\geq 0,S_{b}+S_{c}\geq 0$ thì $S\geq 0$
Điều này là cần thiết đó bạn.
Thật ra thì \[\frac{{{a^4}}}{{{a^3} + {b^3}}} + \frac{{{b^4}}}{{{b^3} + {c^3}}} + \frac{{{c^4}}}{{{c^3} + {a^3}}} \ge \frac{{a + b + c}}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^3} + {b^3}}}a + \frac{{{b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3}}}b + \frac{{{c^3} - {a^3}}}{{{c^3} + {a^3}}}c \ge 0\]
Nếu bạn chỉ xét $a \ge b \ge c$ thôi thì khi đó:
\[\frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^3} + {b^3}}}a + \frac{{{b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3}}}b + \frac{{{c^3} - {a^3}}}{{{c^3} + {a^3}}}c \ge \frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^3} + {b^3}}}c + \frac{{{b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3}}}c + \frac{{{c^3} - {a^3}}}{{{c^3} + {a^3}}}c = \left( {\frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^3} + {b^3}}} \times \frac{{{b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3}}} \times \frac{{{a^3} - {c^3}}}{{{c^3} + {a^3}}}} \right)c \ge 0\]
suy ra BĐT giải quyết xong .Đơn giản quá phải không ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen kd: 16-08-2017 - 09:51
Điều này là cần thiết đó bạn.
Thật ra thì \[\frac{{{a^4}}}{{{a^3} + {b^3}}} + \frac{{{b^4}}}{{{b^3} + {c^3}}} + \frac{{{c^4}}}{{{c^3} + {a^3}}} \ge \frac{{a + b + c}}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^3} + {b^3}}}a + \frac{{{b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3}}}b + \frac{{{c^3} - {a^3}}}{{{c^3} + {a^3}}}c \ge 0\]
Nếu bạn chỉ xét $a \ge b \ge c$ thôi thì khi đó:
\[\frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^3} + {b^3}}}a + \frac{{{b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3}}}b + \frac{{{c^3} - {a^3}}}{{{c^3} + {a^3}}}c \ge \frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^3} + {b^3}}}c + \frac{{{b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3}}}c + \frac{{{c^3} - {a^3}}}{{{c^3} + {a^3}}}c = \left( {\frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^3} + {b^3}}} \times \frac{{{b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3}}} \times \frac{{{a^3} - {c^3}}}{{{c^3} + {a^3}}}} \right)c \ge 0\]
suy ra BĐT giải quyết xong .Đơn giản quá phải không ?
Không cách mình làm là đưa về tổng bình phương khác với cách của bạn.
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
Không cách mình làm là đưa về tổng bình phương khác với cách của bạn.
bất đẳng thức đối xứng thì vai trò các biến như nhau thì xét 1 trường hợp như bạn là đúng , còn khi không đối xứng thì chỉ trường hợp như bạn là không đủ.
Cách của mình còn không dễ hiểu thì các bạn đừng làm toán nữa :v
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh