Chủ đề này có 4 trả lời

[Ben Beck]

Bài 1 Cho x,y,z không âm tm:$x^2+y^2+z^2=\sqrt{2}$ CM

$\prod \left ( x+y \right )+4xyz\left ( \sum xy-2 \right )\geq 4xyz\left ( \sum x^2 \right )$

Bài 2 Cho a,b,c không âm và k có 2 số nào bằng 0 .CM

$\sum \frac{a^2+16bc}{b^2+c^2}\geq 10$

Bài 3 a,b,c không âm CM $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{16ab}{a^2+b^2}\geq 10$

Bài 4 a,b,c >0 CM $\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^2+\frac{10abc}{\prod (a+b)}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 30-07-2017 - 20:47

[trieutuyennham]

B3

BĐT $\Leftrightarrow \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}b^{2}}+\frac{16ab}{a^{2}+b^{2}}\geq 10$

$\Leftrightarrow \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{a^{2}b^{2}}+\frac{16ab}{a^{2}+b^{2}}\geq 12$

Ta có

$VT=\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{a^{2}b^{2}}+\frac{8ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{8ab}{a^{2}+b^{2}}\geq 12$

[AnhTran2911]

Bài 2 có trong sách BĐT 8,9. Bài 4 đổi biến dùng p,q,r

[KietLW9]

Bài 4 a,b,c >0 CM $\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^2+\frac{10abc}{\prod (a+b)}\geq 2$

 

Đặt $x=\dfrac{a}{b+c}, y=\dfrac{b}{c+a}, z=\dfrac{c}{a+b}$ thì
$xy+yz+zx+2xyz=1$
Cần chứng minh $x^2+y^2+z^2+10xyz\ge 2$

Theo Nesbitt thì $x+y+z\geqslant \frac{3}{2}$

Theo Schur: $x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\geqslant 2(xy+yz+zx)$

Ta có: $x^2+y^2+z^2+10xyz=x^2+y^2+z^2+6xyz+4xyz\geqslant x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}+4xyz\geqslant 2(xy+yz+zx)+4xyz=2(xy+yz+zx+2xyz)=2(Q.E.D)$

[KietLW9]

Bài 3 a,b,c không âm CM $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{16ab}{a^2+b^2}\geq 10$

$VT-VP=\frac{(a-b)^4[(a+b)^2+2ab]}{a^2b^2(a^2+b^2)}\geqslant 0$