Chủ đề này có 1 trả lời

[cristianoronaldo]

$\boxed{\text{Bài toán}}$:

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{bc\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{b}{ca\sqrt{c^2+a^2}}+\frac{c}{ab\sqrt{a^2+b^2}}\geq \frac{abc\sqrt{2}+2ab^{3}+2bc^{3}+2ca^{3}}{2abc\left [ (\sqrt{2}-1)abc+2ab^{3}+2bc^{3}+2ca^{3} \right ]}$

 

                                                                                                                  $\boxed{\text{cristianoronaldo}}$

 

 

Spoiler

A Nice Inequality

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 29-07-2017 - 09:28

[viet9a14124869]

$\boxed{\text{Bài toán}}$:

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{bc\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{b}{ca\sqrt{c^2+a^2}}+\frac{c}{ab\sqrt{a^2+b^2}}\geq \frac{abc\sqrt{2}+2ab^{3}+2bc^{3}+2ca^{3}}{2abc\left [ (\sqrt{2}-1)abc+2ab^{3}+2bc^{3}+2ca^{3} \right ]}$

 

                                                                                                                  $\boxed{\text{cristianoronaldo}}$

 

 

Spoiler

A Nice Inequality

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :

$\frac{2a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{2b^2}{\sqrt{c^2+a^2}}+\frac{2c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\geq \frac{abc\sqrt{2}+2ab^3+2bc^3+2ca^3}{(\sqrt{2}-1)abc+2ab^3+2bc^3+2ca^3}$

Mặt khác $VP\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow abc(a+b+c)\leq ab^3+bc^3+ca^3$ ( đúng )

Đặt $\sqrt{b^2+c^2}=x,\sqrt{c^2+a^2}=y,\sqrt{a^2+b^2}=z\Rightarrow x+y+z\geq \sqrt{2}(a+b+c)=\sqrt{2}$

Ta đi chứng minh $\sum \frac{y^2+z^2-x^2}{x}\geq \sqrt{2}$

Hiển nhiên đúng vì $\sum \frac{y^2+z^2-x^2}{x}\geq 2\sum \frac{yz}{x}-\sum x\geq 2\sum x-\sum x=\sum x\geq \sqrt{2}$