1 reply to this topic

[Amasa]

Cho 5 số nguyên phân biệt $a_{1};...;a_{5}$. Chứng minh rằng:
$P=(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})(a_{1}-a_{4})(a_{2}-a_{3})(a_{2}-a_{4})(a_{2}-a_{5})(a_{3}-a_{4})(a_{3}-a_{5})(a_{4}-a_{5})\vdots 288$

[Element hero Neos]

Cho 5 số nguyên phân biệt $a_{1};...;a_{5}$. Chứng minh rằng:
$P=(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})(a_{1}-a_{4})(a_{2}-a_{3})(a_{2}-a_{4})(a_{2}-a_{5})(a_{3}-a_{4})(a_{3}-a_{5})(a_{4}-a_{5})\vdots 288$

Dễ thấy $288=2^5.3^2$, do đó ta chứng minh $P\vdots 2^5$ và $P\vdots 3^2$

 a, Chứng minh $P\vdots2^5$  

       Do có $5$ số nguyên nên theo Dirichlet tồn tại 3 số có cùng số dư khi chia cho $2$, giả sử là $a_1,a_2,a_3$

          Nếu $3$ số trên đều là chẵn thì chúng chia $4$ dư $0$ hoặc $2$. Khi đó theo Dirichlet ta lại có $2$ số cùng số dư khi chia cho $4$, giả sử là $a_1$ và $a_2$. Do đó $(a_1-a_2)(a_2-a_3)(a_1-a_3)\vdots 2.2.4$

             Với $2$ số $a_4$ và $a_5$, nếu chúng cùng tính chẵn lẻ thì $a_4-a_5\vdots 2$, suy ra $P\vdots2^5$, nếu chúng khác tính chẵn lẻ, giả sử $a_4$ chẵn thì $a_1-a_4\vdots 2$, cũng suy ra $P\vdots 2^5$

          Nếu $3$ số $a_1,a_2,a_3$ đều lẻ thì chúng chia $4$ dư $1$ hoặc $3$, lập luận tương tự có $P\vdots 2^5$

b, Chứng minh $P\vdots 3^2$

       Do có $5$ số nguyên nên theo Dirichlet thì có $2$ số có cùng số dư khi chia cho $3$, giả sử là $a_1$ và $a_2$

          Nếu $a_1$ và $a_2$ đều chia $3$ dư $0$ thì $a_1-a_2\vdots 3$

             Trong $3$ số còn lại, nếu có $1$ số chia $3$ dư $0$, giả sử là $a_3$ thì $(a_1-a_2)(a_2-a_3)\vdots 3.3$, suy ra $P\vdots 3^2$

             Nếu không có số nào chia $3$ dư $0$ thì theo Dirichlet tồn tại $2$ số có cùng số dư là $1$ hoặc $2$, giả sử $a_4$ và $a_5$ thì $(a_1-a_2)(a_4-a_5)\vdots 3^2$, suy ra $P\vdots 3^2$

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có đpcm.

Edited by Element hero Neos, 30-07-2017 - 09:15.